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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2023

8 ejercicios

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere las siguientes matrices A=(1−1020321−1),B=(210−121),C=(−1213−12). A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
a)0,5 pts
Calcule AtA^t, donde AtA^t denota la traspuesta de la matriz AA.
b)2 pts
Calcule (3B−2C)(At−I)(3B - 2C)(A^t - I), donde II es la matriz identidad de dimensión 3×33 \times 3.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la función f(x)=x+1x−2f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}.
a)0,5 pts
Calcule el dominio de definición de f(x)f(x).
b)0,75 pts
Determine si hay intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x)f(x). En caso afirmativo, calcúlelos.
c)0,5 pts
Calcule los cortes de f(x)f(x) con los ejes.
d)0,75 pts
Determine los intervalos de concavidad y convexidad de f(x)f(x).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a)1,5 pts
Escriba las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por el punto (2,−1,0)(2, -1, 0). Es decir, de aquellas que tienen vector director (v1,v2,v3)(v_1, v_2, v_3), donde v1,v2,v3∈Rv_1, v_2, v_3 \in \mathbb{R} son parámetros.
b)1 pts
De las rectas anteriores, escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que tiene vector director (−1,4,1)(-1, 4, 1).
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Cierto test determina si una persona consume cierto tipo de droga. En el 99% de los casos, el test clasifica como usuario de la droga a aquellos que la han consumido y también en el 99% de los casos, el test clasifica como no usuarios de la droga a aquellos que no la han consumido. Además, el 0,5%0{,}5\% de las personas a las que se les va a pasar el test consumen la droga.
a)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que las personas a las que se les va a pasar el test no consuman la droga?
b)1,5 pts
¿Cuál es la probabilidad de que una persona consuma la droga si ha dado positivo en el test?
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Considere la matriz A=(122b) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & b \end{pmatrix} en función del parámetro b∈Rb \in \mathbb{R}.
a)0,75 pts
Calcule el rango de AA para los distintos valores del parámetro b∈Rb \in \mathbb{R}.
b)0,75 pts
Determine para qué valores de b∈Rb \in \mathbb{R} la matriz AA tiene inversa.
c)1 pts
Sea BB el conjunto formado por los b∈Rb \in \mathbb{R} tales que AA tiene inversa. Calcule la inversa de AA para los diferentes valores del parámetro b∈Bb \in B.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere la función f(x)=sen⁡(x)f(x) = \sen(x).
a)0,75 pts
Calcule una primitiva de f(x)f(x).
b)1,75 pts
Calcule el área del recinto del plano limitado por f(x)f(x) y el eje OXOX de abscisas para x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Considere el par de rectas r:{3x−5=yz=0s:{6x−2y=1z=0 r: \begin{cases} 3x - 5 = y \\ z = 0 \end{cases} \qquad \qquad s: \begin{cases} 6x - 2y = 1 \\ z = 0 \end{cases}
a)1 pts
Calcule la posición relativa de las dos rectas.
b)0,5 pts
Dé la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.
c)1 pts
Dé la ecuación de un plano ortogonal a la recta rr.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
En una población determinada la altura de los niños de 17 años sigue una distribución normal de media 175 cm175\,\text{cm} y desviación típica 7,417{,}41.
Gráfica de la función de densidad de la distribución normal estándar con el área sombreada bajo la curva desde menos infinito hasta x.
Gráfica de la función de densidad de la distribución normal estándar con el área sombreada bajo la curva desde menos infinito hasta x.
a)1 pts
Calcule la probabilidad de que en dicha población la altura de un niño de 17 años esté entre 170 cm170\,\text{cm} y 180 cm180\,\text{cm}.
b)1,5 pts
¿A partir de qué altura un niño de 17 años de dicha población se encontraría dentro del 5% de niños de 17 años más altos de dicha población?
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