Matemáticas II · Andalucía 2022

Sea $f$ la función continua definida por $f(x) = \begin{cases} \frac{e^{\lambda x} - e^x - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ \mu & \text{si } x = 0 \end{cases}$

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3}$, para $x \neq -2$.

Calcula $\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx$.

Considera las funciones $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = x^2$ y $g(x) = a|x|$, con $a > 0$. Determina el valor de $a$ para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de 9 unidades cuadradas.

Considera el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ \alpha & -1 & 1 \\ \alpha & 0 & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Considera el sistema: $$\begin{cases} x - my - 2z = m \\ x + y + z = 2m \\ x + 2y + mz = 3m \end{cases}$$

Sea el plano $\pi \equiv 2x + y - 2z - 2 = 0$.

Considera las rectas $r \equiv x = 1 - y = z$ y $s \equiv \begin{cases} x + y - 3z = 4 \\ 3x - y + z = -2 \end{cases}$