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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCantabriaPAU 2023Ordinaria

Matemáticas CCSS · Cantabria 2023

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo. 1. El examen consta de seis ejercicios, de los cuales se resolverán únicamente tres (cualesquiera). 2. En caso de intentar resolver más de tres ejercicios, se corregirán únicamente los tres primeros que aparezcan en el cuadernillo del examen. 3. La puntuación máxima de cada ejercicio es de 2.5 puntos (dentro de cada ejercicio, la puntuación máxima de cada apartado se indica entre corchetes). La nota del examen será el resultado de dividir por 0.75 la suma de la puntuación obtenida en los tres ejercicios. 4. Se valorará positivamente la explicación de los diferentes pasos seguidos en la resolución de cada ejercicio, así como la claridad de exposición. No se admitirá ningún resultado que no esté debidamente justificado. 5. Queda prohibido el uso de calculadoras gráficas y/o programables, así como el de cualquier dispositivo con capacidad de almacenar y/o transmitir datos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
En un almacén de construcción venden sacos de cemento de 25 kg, 50 kg y 100 kg. Cierto día se vendió un total de 180 sacos por un importe de 29200 €. Se sabe que el precio del kg de cemento es de 4 € y que ese día se vendieron el doble de sacos de 25 kg que la suma de los sacos de 50 kg más los de 100 kg.
a
Plantee un sistema de ecuaciones que permita calcular cuántos sacos de cada tamaño se vendieron ese día.1,25 pts
b
Resuélvalo.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
El ayuntamiento dispone de 48000 € para la puesta en marcha de huertas ecológicas en un viejo terreno municipal abandonado. Se destinará un máximo de 50 hectáreas al cultivo de hortalizas y un mínimo de 10 al de árboles frutales. Se dispone de un tanque de agua con una capacidad de 480 m³ anuales para riego. Se sabe que cada hectárea dedicada al cultivo de hortalizas necesita 8 m38\,\text{m}^3 de agua anuales, cantidad que disminuye hasta los 4 m34\,\text{m}^3 anuales en el caso de las hectáreas dedicadas al cultivo de árboles frutales. Se sabe también que cada hectárea dedicada al cultivo de hortalizas requiere una inversión por parte del ayuntamiento de 400 €, siendo esta cantidad de 800 € para cada hectárea dedicada al cultivo de árboles frutales. Se sabe además que la producción anual de cada hectárea de hortalizas es de 450 kg y la de cada hectárea de árboles frutales es de 600 kg. El objetivo que persigue el ayuntamiento es maximizar la producción anual total.
a
Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.0,75 pts
b
Dibuje la región factible en el plano, identificando claramente sus vértices.1 pt
c
¿Cuántas hectáreas se deben dedicar al cultivo de hortalizas y cuántas al de árboles frutales para maximizar la producción anual total?0,5 pts
d
¿A cuánto asciende dicha producción?0,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
¿Cuáles son las asíntotas (horizontales, verticales y/u oblicuas) de la siguiente función?f(x)=2x2−1x−1f(x) = \frac{2x^2 - 1}{x - 1}1,25 pts
b
Dada la siguiente función definida a trozos:f(x)={ln⁡(x)x−1si 0,5≤x<1ax2+bsi 1≤x≤2ex+1si 2<x≤2,5f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(x)}{x - 1} & \text{si } 0{,}5 \leq x < 1 \\ ax^2 + b & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \\ e^x + 1 & \text{si } 2 < x \leq 2{,}5 \end{cases}Determine los parámetros aa y bb para que ff sea continua en el intervalo [0,5,2,5][0{,}5, 2{,}5].1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Un hospital ha determinado que el número de pacientes que hay en urgencias a lo largo de un turno de 36 horas viene dado por la función P(t)P(t), donde t∈[0,36]t \in [0, 36] se expresa en horas. Se sabe que P′(t)=t2−40t+231P'(t) = t^2 - 40t + 231 es la derivada de P(t)P(t) y que al finalizar el turno quedan en urgencias 448 pacientes. ¿En qué momento del turno hay menos pacientes en urgencias? ¿Cuántos pacientes hay en ese momento?1,25 pts
b
En una panadería el coste de producción de una hogaza es de 2 €, y el precio de venta de xx hogazas, en € viene dado por la función P(x)=x(122−x)P(x) = x(122 - x). Además, esta panadería tiene unos gastos fijos mensuales de 500 €. Suponiendo que todas las hogazas que se producen se venden, ¿cuántas hogazas debería producir la panadería al mes para maximizar sus ganancias mensuales? ¿A cuánto ascenderían esas ganancias?1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
El precio de las lavadoras que se venden en una gran superficie es una variable que sigue una distribución normal de desviación típica 235 €. Para una muestra de 50 lavadoras, escogidas al azar, se obtiene un precio medio de 405 €.
a
Obtenga el intervalo de confianza del 95 % para el precio medio de una lavadora.1,25 pts
b
¿Cuál es el número mínimo de lavadoras que habría que considerar para que el error cometido al estimar el precio medio por lavadora con un nivel de confianza del 97 % fuese de 50 €?1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Se tiene una urna que contiene 5 bolas blancas, 3 negras y 2 rojas. Si se extraen al azar dos bolas de forma consecutiva y sin reemplazamiento:
a
¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas?0,25 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color?0,75 pts
c
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las dos bolas extraídas sea negra?0,75 pts
d
Si la segunda bola que se extrae es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la primera haya sido blanca?0,75 pts
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