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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2023

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
PRIMERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Se considera el sistema de ecuaciones lineales que sigue: {3x+y+αz=0,2x+αy+z=1,3x+αy+z=α−1.\left\{ \begin{array}{l} 3 x + y + \alpha z = 0, \\ 2 x + \alpha y + z = 1, \\ 3 x + \alpha y + z = \alpha - 1. \end{array} \right. Discute su compatibilidad en función de los valores del parámetro α\alpha. Resuelve el sistema para α=0\alpha = 0, si es posible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
PRIMERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Calcula las dos matrices AA y BB que satisfacen las siguientes igualdades: A+B=(282926211)A + B = \begin{pmatrix} 2 & 8 & 2 & 9 \\ 2 & 6 & 2 & 11 \end{pmatrix} 3A−2B=(6−166−3−418−418)3 A - 2 B = \begin{pmatrix} 6 & -16 & 6 & -3 \\ -4 & 18 & -4 & 18 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Sean la recta rr y el plano π\pi, que se cortan perpendicularmente en el punto P(1,−1,2)P(1, -1, 2). Si el plano π\pi pasa por el punto Q(1,2,3)Q(1, 2, 3) y contiene al vector (0,0,2)(0, 0, 2), calcula las ecuaciones de la recta rr y del plano π\pi.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Se consideran tres planos de ecuaciones: π1≡4x+2y−4z=2,π2≡x−y−z=2yπ3≡x+ay+z=b.\pi_1 \equiv 4x + 2y - 4z = 2, \quad \pi_2 \equiv x - y - z = 2 \quad \text{y} \quad \pi_3 \equiv x + ay + z = b. ¿Existen valores de los parámetros aa y bb para los cuales los tres planos se cortan en una recta? En caso de que la respuesta sea negativa, razónala. En el caso de que la respuesta sea positiva, calcula dichos valores.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
TERCERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Sea f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff, calcula sus asíntotas, y encuentra la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0. Haz una representación aproximada de la gráfica de la función ff.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
TERCERA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Sea f(x)=x3+Ax2+Bx+Cf(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C. Encuentra los valores de los parámetros AA, BB y CC para que f(0)=2f(0) = 2, las rectas tangentes a la gráfica de ff en los puntos de abscisa x=1x = 1 y x=3x = 3 sean paralelas y ff tenga un extremo relativo en el punto x=−1x = -1. Ese extremo relativo, ¿es un máximo o un mínimo? Estudia si ff tiene algún otro extremo relativo y determina si son máximos o mínimos.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
CUARTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Calcula ∫(x2+1)ex+1dx\int (x^2 + 1) e^{x+1} dx, explicando el método utilizado.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
CUARTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Dibuja el recinto limitado por las parábolas de ecuaciones y=2x2−4x+3y = 2x^2 - 4x + 3 y y=x2−2x+3y = x^2 - 2x + 3 y calcula el área de ese recinto.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
QUINTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

Tenemos dos dados, uno normal y otro trucado. En el trucado hay 4 unos y 2 doses. Se elige un dado al azar y se tira dos veces.
a)
¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 en la primera tirada y un 2 en la segunda?
b)
Sabiendo que el resultado de la primera tirada ha sido un 1 y el de la segunda ha sido un 2, calcula la probabilidad de que se haya escogido el dado trucado.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
QUINTA PARTE

Responda solo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

Una caja que contiene 500 monedas es vaciada sobre una mesa. Halla
a)
la probabilidad de que el número de caras sea mayor que 240;
b)
la probabilidad de que el número de caras sea menor que 230;
c)
la probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre 230 y 240, ambos incluidos.
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