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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2012

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Determine el rango de la matriz A=(11k1k1k11)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \end{pmatrix} en función del parámetro kk.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea f(x)=ax2x+bf(x) = \frac{ax^2}{x + b}, en la que a≠0a \neq 0.
a
Determine si tiene alguna asíntota vertical, en función del parámetro bb.1 pt
b
Indique el valor de los parámetros aa y bb para que la función f(x)f(x) tenga la recta y=2x−4y = 2x - 4 como asíntota oblicua a +∞+\infty.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente:{x+y−3z=22x+ay−5z=2a+32x−3y+(a−2)z=9\begin{cases} x + y - 3z = 2 \\ 2x + ay - 5z = 2a + 3 \\ 2x - 3y + (a - 2)z = 9 \end{cases}
a
Calcule el valor o los valores del parámetro aa para el cual o para los cuales el sistema es compatible indeterminado.1,5 pts
b
¿Cuántas soluciones tiene este sistema cuando a=−3a = -3?0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Una fábrica produce diariamente xx toneladas de un producto A y 40−5x10−x\frac{40 - 5x}{10 - x} toneladas de un producto B. La cantidad máxima de producto A que se puede producir es 8 toneladas. El precio de venta del producto A es 100100 € por tonelada y el del producto B es 250250 € por tonelada.
a
Construya la función de la variable xx que nos proporciona los ingresos diarios, suponiendo que se vende toda la producción.0,5 pts
b
Calcule cuántas toneladas de cada producto se deben producir diariamente para obtener el máximo de ingresos, y compruebe que es realmente un máximo relativo.1,5 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Considere las rectas del espacio siguientes:r ⁣:x+12=y−1=z−1−1,s ⁣:x−43=y−1−1=z−22r \colon \frac{x + 1}{2} = y - 1 = \frac{z - 1}{-1}, \quad s \colon \frac{x - 4}{3} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 2}{2}
a
Compruebe que son secantes.1 pt
b
Calcule la ecuación continua de la recta que las corta y que es perpendicular a ambas.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Dadas la recta y=ax+1y = ax + 1 y la parábola y=3x−x2y = 3x - x^2,
a
Calcule los valores del parámetro aa para que sean tangentes.1,5 pts
b
Calcule los puntos de tangencia.0,5 pts
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