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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2013

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INSTRUCCIONES: El alumno deberá elegir una de las dos opciones A o B que figuran en el presente examen y contestar razonadamente a los cinco ejercicios de los que consta la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. TIEMPO: Una hora y treinta minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Se consideran las matrices A=(0230)A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} y B=(−383−5)B = \begin{pmatrix} -3 & 8 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}.
a
Calcúlese la matriz inversa de AA.1 pt
b
Resuélvase la ecuación matricial A⋅X=B−IA \cdot X = B - I, donde II es la matriz identidad.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea CC la región del plano delimitada por el sistema de inecuaciones{x+3y≥32x−y≤42x+y≤24x≥0,y≥0\begin{cases} x + 3y \geq 3 \\ 2x - y \leq 4 \\ 2x + y \leq 24 \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{cases}
a
Represéntese la región CC y calcúlense las coordenadas de sus vértices.1 pt
b
Determínese el punto de CC donde la función f(x,y)=3x+yf(x, y) = 3x + y alcanza su valor máximo. Calcúlese dicho valor.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por f(x)=x3x2−9f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 9}.
a
Hállense las asíntotas de ff.1 pt
b
Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
En un avión de línea regular existe clase turista y clase preferente. La clase turista ocupa las dos terceras partes del pasaje y la clase preferente el resto. Se sabe que todos los pasajeros que viajan en la clase preferente saben hablar inglés y que el 40%40\% de los pasajeros que viajan en clase turista no saben hablar inglés. Se elige un pasajero del avión al azar.
a
Calcúlese la probabilidad de que el pasajero elegido sepa hablar inglés.1 pt
b
Si se observa que el pasajero elegido sabe hablar inglés, ¿cuál es la probabilidad de que viaje en la clase turista?1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El tiempo de renovación de un teléfono móvil, expresado en años, se puede aproximar mediante una distribución normal con desviación típica 0,40{,}4 años.
a
Se toma una muestra aleatoria simple de 400400 usuarios y se obtiene una media muestral igual a 1,751{,}75 años. Determínese un intervalo de confianza al 95%95\% para el tiempo medio de renovación de un teléfono móvil.1 pt
b
Determínese el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor o igual a 0,020{,}02 años con un nivel de confianza del 90%90\%.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro kk:{kx+y=0x+ky−2z=1kx−3y+kz=0\begin{cases} kx + y = 0 \\ x + ky - 2z = 1 \\ kx - 3y + kz = 0 \end{cases}
a
Discútase el sistema según los diferentes valores de kk.1 pt
b
Resuélvase el sistema para k=1k = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por:f(x)={ax2−3si x≤1ln⁡(2x−1)si x>1f(x) = \begin{cases} ax^2 - 3 & \text{si } x \leq 1 \\ \ln(2x - 1) & \text{si } x > 1 \end{cases}
Datos
  • ln⁡x\ln x denota al logaritmo neperiano del número xx
a
Calcúlese aa para que la función ff sea continua en todo R\mathbb{R}.1 pt
b
Represéntese gráficamente la función para el caso a=3a = 3.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por f(x)=xx2+4f(x) = \frac{x}{x^2 + 4}.
a
Determínense los extremos relativos de ff.1 pt
b
Calcúlese la integral definida ∫01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Una caja de caramelos contiene 77 caramelos de menta y 1010 de fresa. Se extrae al azar un caramelo y se sustituye por dos del otro sabor. A continuación se extrae un segundo caramelo. Hállese la probabilidad de que:
a
El segundo caramelo sea de fresa.1 pt
b
El segundo caramelo sea del mismo sabor que el primero.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Se considera una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu y desviación típica igual a 210210. Se toma una muestra aleatoria simple de 6464 elementos.
a
Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y μ\mu sea mayor o igual que 2222.1 pt
b
Determínese un intervalo de confianza del 99%99\% para μ\mu, si la media muestral es igual a 15321532.1 pt
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