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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. b) Tiene que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Conteste de forma razonada y escriba ordenadamente y con letra clara. d) Todos los procesos que conducen a resultados deben estar suficientemente justificados y completamente explicados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el sistema{x+(a−1)y+z=1ax+(2a−2)y+2z=0(a+1)x+(3a−3)y+(a+3)z=0 \begin{cases} x + (a - 1) y + z = 1 \\ a x + (2 a - 2) y + 2 z = 0 \\ (a + 1) x + (3 a - 3) y + (a + 3) z = 0 \end{cases}
a
Estudie el carácter del sistema según los valores del número real aa.1,5 pts
b
Resuelva el sistema, si es posible, cuando a=2a = 2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere el plano π:x+y+z=1\pi: x + y + z = 1 y el punto P(1,1,−1)P(1, 1, -1). Obtenga:
a
Un punto QQ en el plano π\pi tal que la recta rr determinada por PP y QQ sea perpendicular al plano π\pi.1,5 pts
b
Los puntos P′P' en la recta rr tales que la distancia de P′P' a π\pi sea el doble de la distancia de PP a π\pi.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
De todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 cm10\,\text{cm}, encuentre la longitud de los catetos del triángulo que tiene el perímetro máximo.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere las curvas y=4x−x2y = 4x - x^2 y y=x2−6y = x^2 - 6.
a
Encuentre sus puntos de intersección.0,5 pts
b
Represente razonadamente las dos curvas en una misma gráfica, donde se vea claramente el recinto que limitan entre ellas.1 pt
c
Encuentre el área del recinto limitado por las dos curvas.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el número real aa considere la matriz A=(1−1−aa31−2a2a)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -a \\ a & 3 & 1 \\ -2 & a & 2a \end{pmatrix}
a
Obtenga los valores del número real aa para los que la matriz tiene inversa.1,25 pts
b
Calcule, si es posible, la inversa de AA cuando a=0a = 0.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0) y B(0,2,1)B(0, 2, 1) son los vértices que forman el lado desigual de un triángulo isósceles. Se sabe que el tercer vértice pertenece a la recta r:{y=0z=10r: \begin{cases} y = 0 \\ z = 10 \end{cases}
a
Halle las coordenadas del tercer vértice.1,5 pts
b
Encuentre el área del triángulo.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcule lim⁡x→0ln⁡(1+x)−sen⁡xx⋅sen⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - \sen x}{x \cdot \sen x}.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se sabe que la derivada de una función ff es f′(x)=(x+1)⋅(x2−4)f'(x) = (x + 1) \cdot (x^2 - 4).
a
Determine la función ff sabiendo que f(0)=17f(0) = \frac{1}{7}.1 pt
b
Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de ff.1,5 pts
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