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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2015

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Considere el sistema {x+(a−1)y+z=1ax+(2a−2)y+2z=0(a+1)x+(3a−3)y+(a+3)z=0 \begin{cases} x + (a - 1) y + z = 1 \\ a x + (2 a - 2) y + 2 z = 0 \\ (a + 1) x + (3 a - 3) y + (a + 3) z = 0 \end{cases}
a)1,5 pts
Estudie el carácter del sistema según los valores del número real aa.
b)1 pts
Resuelva el sistema, si es posible, cuando a=2a = 2.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Dado el número real aa considere la matriz A=(1−1−aa31−2a2a)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -a \\ a & 3 & 1 \\ -2 & a & 2a \end{pmatrix}
a)1,25 pts
Obtenga los valores del número real aa para los que la matriz tiene inversa.
b)1,25 pts
Calcule, si es posible, la inversa de AA cuando a=0a = 0.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Considere el plano π:x+y+z=1\pi: x + y + z = 1 y el punto P(1,1,−1)P(1, 1, -1). Obtenga:
a)1,5 pts
Un punto QQ en el plano π\pi tal que la recta rr determinada por PP y QQ sea perpendicular al plano π\pi.
b)1 pts
Los puntos P′P' en la recta rr tales que la distancia de P′P' a π\pi sea el doble de la distancia de PP a π\pi.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0) y B(0,2,1)B(0, 2, 1) son los vértices que forman el lado desigual de un triángulo isósceles. Se sabe que el tercer vértice pertenece a la recta r:{y=0z=10r: \begin{cases} y = 0 \\ z = 10 \end{cases}
a)1,5 pts
Halle las coordenadas del tercer vértice.
b)1 pts
Encuentre el área del triángulo.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
De todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 cm10\,\text{cm}, encuentre la longitud de los catetos del triángulo que tiene el perímetro máximo.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Calcule lim⁡x→0ln⁡(1+x)−sen⁡xx⋅sen⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - \sen x}{x \cdot \sen x}.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Considere las curvas y=4x−x2y = 4x - x^2 y y=x2−6y = x^2 - 6.
a)0,5 pts
Encuentre sus puntos de intersección.
b)1 pts
Represente razonadamente las dos curvas en una misma gráfica, donde se vea claramente el recinto que limitan entre ellas.
c)1 pts
Encuentre el área del recinto limitado por las dos curvas.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Se sabe que la derivada de una función ff es f′(x)=(x+1)⋅(x2−4)f'(x) = (x + 1) \cdot (x^2 - 4).
a)1 pts
Determine la función ff sabiendo que f(0)=17f(0) = \frac{1}{7}.
b)1,5 pts
Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de ff.
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