Matemáticas CCSS · Extremadura 2015

En un fábrica se dispone de 1000 horas de montaje y de 500 horas de tapicería para la fabricación de sillas y sillones. Cada silla requiere 5 horas de montaje y 5 horas de tapicería y cada sillón 15 horas de montaje y 5 horas de tapicería. Si no se pueden fabricar menos de 20 sillas y el beneficio obtenido es de 60 euros por cada silla y 100 euros por cada sillón:

Hallar la matriz $X$ que sea solución de la ecuación matricial $A \cdot X \cdot B = A + B$, donde: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$$ Justificar la respuesta.

En una plantación de frutales se ha determinado que la producción de fruta (en miles de kg), en los últimos 10 años, cumple la función $$P(t) = -t^3 + 18t^2 - 81t + 200, \quad 1 \leq t \leq 10$$ donde $P$ es la producción (en miles de kg) y $t$ es el año objeto de estudio. Se pide, justificando las respuestas:

Una empresa se dedica a la compra y venta de petróleo. El precio de compra por barril depende del número de barriles comprados según la función: $$P(x) = \begin{cases} Ax^2 - 10x + 150, & 0 \leq x \leq 10 \\ B, & x \geq 10 \end{cases}$$ donde $P(x)$ representa el precio por barril y $x$ es el número de barriles comprados (en miles de unidades). Sabiendo que la función es continua y que el mínimo se alcanza para $x = 10$, se pide

El 80% de las familias españolas es propietaria de la casa que habitan. De ellas, el 70% tiene una hipoteca sobre la misma. Se está realizando un estudio sobre la satisfacción de las familias respecto a la vivienda en la que residen. Se han obtenido los siguientes datos: - Las familias con vivienda en propiedad y sin hipoteca están satisfechas en un 80%. - Las familias con vivienda en propiedad y con hipoteca están satisfechas en un 60%. - Las familias sin vivienda en propiedad están satisfechas en un 30%.

Se realizó un estudio para determinar la resistencia a la rotura de dos tipos de vigas. Para una muestra aleatoria formada por 30 vigas de hormigón la resistencia media muestral fue de $29{,}8$ unidades. También se obtuvo una muestra aleatoria de 30 vigas de acero obteniendo una resistencia media muestral de $32{,}7$ unidades. Se supone que las distribuciones de la resistencia a la rotura de los dos tipos de viga son normales con varianza 1. Con un nivel de confianza del 95%, ¿se puede rechazar la hipótesis de que los dos tipos de viga tienen la misma resistencia a la rotura? Justificar la respuesta.