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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSExtremaduraPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Extremadura 2015

3 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo. Elegir una opción entre las dos que se proponen a continuación. Calificación máxima de la prueba: 10 puntos. Problema 1: de 0 a 3.5 puntos; Problema 2: de 0 a 3 puntos; Problema 3: de 0 a 3.5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,5 puntos
En un fábrica se dispone de 1000 horas de montaje y de 500 horas de tapicería para la fabricación de sillas y sillones. Cada silla requiere 5 horas de montaje y 5 horas de tapicería y cada sillón 15 horas de montaje y 5 horas de tapicería. Si no se pueden fabricar menos de 20 sillas y el beneficio obtenido es de 60 euros por cada silla y 100 euros por cada sillón:
a
¿Cuántas sillas y sillones deben fabricarse para obtener el máximo beneficio?
b
Hallar el valor de dicho beneficio máximo. Justificar las respuestas.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
En una plantación de frutales se ha determinado que la producción de fruta (en miles de kg), en los últimos 10 años, cumple la funciónP(t)=−t3+18t2−81t+200,1≤t≤10P(t) = -t^3 + 18t^2 - 81t + 200, \quad 1 \leq t \leq 10donde PP es la producción (en miles de kg) y tt es el año objeto de estudio. Se pide, justificando las respuestas:
a
Determinar los periodos de crecimiento y decrecimiento de la producción durante los 10 años.
b
¿Cuáles son las producciones máxima y mínima en dicho periodo?
c
Hallar el beneficio total obtenido en los tres primeros años, sabiendo que por cada kg de fruta se obtiene un beneficio de 0,300{,}30 euros.
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Ejercicio 3

3
3,5 puntos
El 80% de las familias españolas es propietaria de la casa que habitan. De ellas, el 70% tiene una hipoteca sobre la misma. Se está realizando un estudio sobre la satisfacción de las familias respecto a la vivienda en la que residen. Se han obtenido los siguientes datos: - Las familias con vivienda en propiedad y sin hipoteca están satisfechas en un 80%. - Las familias con vivienda en propiedad y con hipoteca están satisfechas en un 60%. - Las familias sin vivienda en propiedad están satisfechas en un 30%.
a
Si se elige una familia, ¿cuál es la probabilidad de que esté satisfecha con la vivienda en la que reside?
b
Si se elige una familia, ¿cuál es la probabilidad de que esté satisfecha con la vivienda en la que reside y que ésta sea en propiedad?
c
Sabiendo que una familia está satisfecha, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga vivienda en propiedad? Justificar las respuestas.
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Ejercicio 1

1
3,5 puntos
Hallar la matriz XX que sea solución de la ecuación matricial A⋅X⋅B=A+BA \cdot X \cdot B = A + B, donde:A=(1−101) y B=(103−1)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}Justificar la respuesta.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Una empresa se dedica a la compra y venta de petróleo. El precio de compra por barril depende del número de barriles comprados según la función:P(x)={Ax2−10x+150,0≤x≤10B,x≥10P(x) = \begin{cases} Ax^2 - 10x + 150, & 0 \leq x \leq 10 \\ B, & x \geq 10 \end{cases}donde P(x)P(x) representa el precio por barril y xx es el número de barriles comprados (en miles de unidades). Sabiendo que la función es continua y que el mínimo se alcanza para x=10x = 10, se pide
a
Determinar las constantes AA y BB. Justificar la respuesta.
b
Representar gráficamente el precio del barril en función de xx.
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Ejercicio 3

3
3,5 puntos
Se realizó un estudio para determinar la resistencia a la rotura de dos tipos de vigas. Para una muestra aleatoria formada por 30 vigas de hormigón la resistencia media muestral fue de 29,829{,}8 unidades. También se obtuvo una muestra aleatoria de 30 vigas de acero obteniendo una resistencia media muestral de 32,732{,}7 unidades. Se supone que las distribuciones de la resistencia a la rotura de los dos tipos de viga son normales con varianza 1. Con un nivel de confianza del 95%, ¿se puede rechazar la hipótesis de que los dos tipos de viga tienen la misma resistencia a la rotura? Justificar la respuesta.
Gráfica de una distribución normal con áreas de cola sombreadas indicando los valores críticos -z_alpha/2 y z_alpha/2.
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