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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAragónPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Aragón 2015

3 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo. Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima. En los criterios de evaluación se dan las puntuaciones para las distintas fases de realización de los ejercicios. En algunos ejercicios en los que hay más de una manera de resolverlos se dan criterios dependiendo de cada forma de resolución; aún así, puede haber otras formas de resolver los problemas que no estén contempladas en los criterios expuestos. En este caso queda a criterio del corrector la forma de puntuar el ejercicio. En todo caso, debe darse por válida cualquier forma de resolución de los ejercicios, siempre que sea correcta y esté suficientemente razonada, por inusual o larga que sea. Si el error se produce en un paso intermedio, el resto del ejercicio se corregirá dando como válido el valor (erróneo) obtenido por el estudiante y no se le penalizará por ello en el resto del ejercicio, a no ser que el error dé lugar a un ejercicio significativamente más sencillo que el original, en cuyo caso la puntuación queda a criterio del corrector. Como regla general, un pequeño error puntual de cuentas se penalizará con 0,1 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,5 puntos
Dadas las matrices:A=(43−21),B=(5−1−12)A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
a
Calcular, si existe, la matriz inversa de AA.1,25 pts
b
Encontrar una matriz XX, si existe, tal que 2X+B2=3A2X + B^2 = 3A.1,25 pts
c
Sea C=A+BC = A + B. Calcular el rango de CC.1 pt

Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Dada la función:f(x)={bx+31−xsi x∈(−∞,0]x+3si x∈(0,3]ax+3x2+1si x∈(3,+∞)f(x) = \begin{cases} \frac{bx + 3}{1 - x} & \text{si } x \in (-\infty, 0] \\ x + 3 & \text{si } x \in (0, 3] \\ \frac{ax + 3}{x^2 + 1} & \text{si } x \in (3, +\infty) \end{cases}
a
Calcular aa para que la función sea continua en x=3x = 3.1 pt
b
Calcular bb para que la función sea derivable en x=0x = 0.1,5 pts
c
Calcular:∫12(3x+e5x+8x)dx\int_{1}^{2} \left(\frac{3}{x} + e^{5x} + 8x\right) dx1 pt

Ejercicio 3

3
3 puntos
Disponemos de los siguientes datos sobre el uso de nuevas tecnologías por parte de los estudiantes de una universidad: un 70% de los estudiantes de esa universidad tiene teléfono inteligente, un 50% de los estudiantes de esa universidad tiene ordenador portátil y un 40% de los estudiantes de esa universidad tiene ambos dispositivos (teléfono inteligente y ordenador portátil).
a
¿Cuál es la probabilidad de que, si elegimos al azar un estudiante de esa universidad, tenga al menos uno de los dos dispositivos?1 pt
b
Si elegimos al azar un estudiante de entre los que tienen teléfono inteligente, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga ordenador portátil?1 pt
c
Sea SS el suceso “el estudiante tiene teléfono inteligente” y LL el suceso “el estudiante tiene ordenador portátil”, ¿son los sucesos SS y LL independientes?1 pt

Ejercicio 1

1
3,5 puntos
Un agricultor tiene 40 hectáreas de terreno en las que puede plantar cebada o maíz (o no plantar nada). Cada hectárea de cebada necesitará 5 hectómetros cúbicos de agua mientras que cada hectárea de maíz necesitará 10 hectómetros cúbicos de agua. El agricultor podrá disponer de hasta 225 hectómetros cúbicos de agua. El beneficio que obtendrá por cada hectárea de cebada es de 100 euros mientras que por cada hectárea de maíz obtendrá un beneficio de 160 euros; además, las hectáreas en las que no plante nada las arrendará y obtendrá un beneficio de 50 euros por hectárea. La normativa no le permite plantar más hectáreas de maíz que de cebada. ¿Cuántas hectáreas de cebada y cuántas de maíz tiene que plantar para maximizar su beneficio? ¿Cuál será el beneficio máximo?

Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Sea la función:f(x)=2x+5x2−4f(x) = \frac{2x + 5}{x^2 - 4}
a
Calcular su dominio.0,5 pts
b
¿Para qué valores de xx es f(x)f(x) mayor que 0?1 pt
c
Sus máximos y mínimos relativos, si existen.1,25 pts
d
Sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si existen.0,75 pts

Ejercicio 3

3
3 puntos
La producción en kilos de los naranjos de una variedad es una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 5 kilos.
Datos
  • desviación típica σ=5\sigma = 5 kilos
a
Queremos construir un intervalo de confianza al 96% para la media de la producción de los naranjos de esta variedad de forma que su amplitud no sea mayor que 3 kilos. ¿Qué tamaño de la muestra debemos tomar?1,5 pts
b
Decidimos tomar un tamaño de la muestra igual a 10. Elegimos 10 naranjos de esta variedad y medimos su producción en kilos, con los siguientes resultados: 82,90,87,75,78,83,92,77,85,8682, 90, 87, 75, 78, 83, 92, 77, 85, 86 Calcular el intervalo de confianza al 96% para la media de la producción de los naranjos de esta variedad.1,5 pts