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la cuevadel empollón
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3

4 puntos
Análisis

Responda dos de estos tres apartados: 3.1., 3.2., 3.3.

3.1
Para cada uno de los siguientes casos, dibuje, cuando sea posible, la gráfica de una función que cumpla las propiedades indicadas:
a
Continua pero no derivable en x=0x = 0.
b
Continua en [a,b][a, b], con f(a)f(b)<0f(a)f(b) < 0, y cuya gráfica corte al eje xx en más de un punto del intervalo (a,b)(a, b).
c
Continua en [a,b][a, b], derivable en (a,b)(a, b), con f(a)f(b)<0f(a)f(b) < 0, f′>0f' > 0 en (a,b)(a, b), y cuya gráfica corte al eje xx en más de un punto del intervalo (a,b)(a, b).
d
Dos veces derivable en R\mathbb{R}, con f′′>0f'' > 0 en R\mathbb{R} y monótona en R\mathbb{R}.
3.2
Calcule los siguientes límites:
a
lim⁡x→1ln⁡xx\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x}.
b
lim⁡x→1x−1ln⁡x\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln x}.
c
lim⁡x→0tan⁡xsin⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x}.
d
lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}\ln x.
3.3
Calcule el valor que tiene que tomar el parámetro positivo aa para que el área de la región encerrada por la gráfica de la función f(x)=ax2−2axf(x) = ax^2 - 2ax y el eje xx sea igual a 1010 unidades de superficie. Haga un dibujo de la región.