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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2026Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2026

4 ejercicios

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a las cuatro preguntas. En la 1, responde a ambos apartados; en la 2 y la 4, elige uno de los dos; en la 3, elige dos de los tres.
Puntuación
Las preguntas 1, 2 y 4 valen 2 puntos cada una; la pregunta 3 vale 4 puntos.
Además
Deben justificarse todas las respuestas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Estadística y probabilidad
CONTEXTO Renfe opera un servicio Alvia entre Santiago de Compostela y Barcelona-Sants. Los datos históricos muestran que, en condiciones operativas habituales, el tiempo de viaje sigue una distribución normal con una media de 765 minutos765\,\text{minutos} y una desviación típica de 18 minutos18\,\text{minutos}. Sin embargo, durante los meses de invierno es frecuente que se produzcan incidencias meteorológicas que obligan a reducir la velocidad en ciertos tramos de la ruta. Esto ocurre aproximadamente el 30 %30\,\% de los días de la temporada. Cuando se activa el protocolo por incidencia, la distribución del tiempo de viaje sigue siendo normal, pero pasa a tener una media de 810 minutos810\,\text{minutos} y una desviación típica de 40 minutos40\,\text{minutos}. La compañía ferroviaria define que existe un “retraso significativo” cuando el tiempo de viaje supera los 780 minutos780\,\text{minutos} en un día sin incidencias, o los 840 minutos840\,\text{minutos} en un día con incidencia meteorológica declarada. Responda estos dos apartados: 1.1. y 1.2. Será preciso usar alguno o algunos de los siguientes valores, aunque no todos (entiéndase que ZZ sigue una distribución N(0,1)N(0, 1)):
Datos
  • P(Z≤0,3)=0,6179P(Z \leq 0{,}3) = 0{,}6179
  • P(Z≤0,75)=0,7734P(Z \leq 0{,}75) = 0{,}7734
  • P(Z≤0,83)=0,7967P(Z \leq 0{,}83) = 0{,}7967
  • P(Z≤1,125)=0,8697P(Z \leq 1{,}125) = 0{,}8697
  • P(Z≤4,16)=1P(Z \leq 4{,}16) = 1
1.1
Por el contexto, se sabe que P(R∣Iˉ)=P(X>780)P(R|\bar{I}) = P(X > 780) y que P(R∣I)=P(Y>840)P(R|I) = P(Y > 840). Explique el significado de los sucesos II y RR y de las variables aleatorias XX e YY. Luego, determine la probabilidad de que, seleccionando al azar un día de la temporada invernal, este tren Alvia experimente un retraso significativo según la definición de la compañía.
1.2
Calcule la probabilidad de que, en un día con incidencia meteorológica activa, el tren complete su viaje en un tiempo inferior a 765 minutos765\,\text{minutos}, que es el tiempo medio en condiciones habituales.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Álgebra

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

Considérese la igualdad matricial A(X−I)B=CA(X - I)B = C, donde XX es cuadrada e II es la matriz identidad.
2.1.1
Despeje XX suponiendo que AA y BB son cuadradas e invertibles.
2.1.2
¿Qué dimensiones tienen XX y BB si AA y CC son matrices 1×21 \times 2? Obtenga XX, simétrica y tal que los elementos de su diagonal sumen 00, si A=(11)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}, B=IB = I y C=(00)C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}.
Discuta, según los valores del parámetro mm, el sistema{(m−4)x+5z=9,(m−1)y+6z=m+8,(m−4)x+(m−1)y+7z=m+9.\begin{cases} (m - 4)x + 5z = 9, \\ (m - 1)y + 6z = m + 8, \\ \begin{aligned} &(m - 4)x + (m - 1)y \\ &\quad {}+ 7z = m + 9. \end{aligned} \end{cases}
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Ejercicio 3

3
4 puntos
Análisis

Responda dos de estos tres apartados: 3.1., 3.2., 3.3.

3.1
Para cada uno de los siguientes casos, dibuje, cuando sea posible, la gráfica de una función que cumpla las propiedades indicadas:
a
Continua pero no derivable en x=0x = 0.
b
Continua en [a,b][a, b], con f(a)f(b)<0f(a)f(b) < 0, y cuya gráfica corte al eje xx en más de un punto del intervalo (a,b)(a, b).
c
Continua en [a,b][a, b], derivable en (a,b)(a, b), con f(a)f(b)<0f(a)f(b) < 0, f′>0f' > 0 en (a,b)(a, b), y cuya gráfica corte al eje xx en más de un punto del intervalo (a,b)(a, b).
d
Dos veces derivable en R\mathbb{R}, con f′′>0f'' > 0 en R\mathbb{R} y monótona en R\mathbb{R}.
3.2
Calcule los siguientes límites:
a
lim⁡x→1ln⁡xx\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x}.
b
lim⁡x→1x−1ln⁡x\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln x}.
c
lim⁡x→0tan⁡xsin⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x}.
d
lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}\ln x.
3.3
Calcule el valor que tiene que tomar el parámetro positivo aa para que el área de la región encerrada por la gráfica de la función f(x)=ax2−2axf(x) = ax^2 - 2ax y el eje xx sea igual a 1010 unidades de superficie. Haga un dibujo de la región.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
Geometría

Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

Sea rr la recta que pasa por el origen y por P′P', siendo P′P' el punto simétrico de P(1,0,1)P(1, 0, 1) con respecto al punto Q(0,1,0)Q(0, 1, 0). Se pide:
4.1.1
Obtenga P′P' y las ecuaciones paramétricas de rr.
4.1.2
Determine la ecuación implícita del plano que pasa por el origen y es perpendicular a rr.
Considérense los puntos P(1,0,1)P(1, 0, 1), Q(0,1,0)Q(0, 1, 0) y R(1,1,1)R(1, 1, 1).
4.2.1
Demuestre que PP, QQ y RR no están alineados y obtenga la ecuación implícita del plano π\pi que pasa por ellos.
4.2.2
Calcule el valor o valores de aa que hacen que la distancia del punto S(a,0,0)S(a, 0, 0) a ese plano π\pi sea igual a 2\sqrt{2} unidades de longitud.
Ver este ejercicio