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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2025Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2025

4 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Un centro de atención telefónica estima que el tiempo, en minutos, de atención a las llamadas que recibe se aproxima por una distribución normal con desviación típica σ=4\sigma = 4 minutos. Se toma una muestra de 3636 llamadas y se observa que el tiempo medio de atención es de 1515 minutos. Con un nivel de confianza del 97%97\%,
a
Calcula el intervalo de confianza para el tiempo de atención medio poblacional.1 pt
b
Explica, justificando la respuesta, cómo se podría obtener un intervalo de confianza con menor amplitud sin modificar el nivel de confianza.0,75 pts
c
Una asociación de consumidores afirma que el tiempo medio de atención a las llamadas es de 1717 minutos. Dado el intervalo del apartado a), ¿se puede aceptar tal afirmación con un nivel de confianza del 95%95\%? Justificar la respuesta.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Lucía, en un examen de Historia que constaba de tres preguntas, ha obtenido una calificación total de 7,27{,}2 puntos. La puntuación obtenida en la primera pregunta fue un 40%40\% más que la obtenida en la segunda, y la puntuación del tercer enunciado fue el doble de la suma de las puntuaciones obtenidas en la primera y segunda pregunta. ¿Cuál fue la puntuación obtenida por Lucía en cada pregunta?
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos

Elija y resuelva sólo uno de los dos apartados siguientes (a o b).

a
Se considera la función f(x)={−x2−3x+10si x≤kx2−4x+9si x>kf(x) = \begin{cases} -x^2-3x+10 & \text{si } x \leq k \\ x^2-4x+9 & \text{si } x > k \end{cases}2,5 pts
a.1
¿Para qué valores de kk la función f(x)f(x) es continua en x=kx=k?1 pt
a.2
Si k=1k=1, calcula los máximos y mínimos relativos de la función f(x)f(x).0,75 pts
a.3
En ese mismo supuesto, determina en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente.0,75 pts
b
Dada la función f(x)=ax3+bx2+cf(x) = ax^3 + bx^2 + c, se sabe que tiene un mínimo relativo en el punto (2,−3)(2, -3) y un punto de inflexión en (1,−1)(1, -1).2,5 pts
b.1
Encuentra el valor de los parámetros aa, bb y cc.1,5 pts
b.2
Dadas las matrices A=(−132201)A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B=(21−1002)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} y C=(−3124)C = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, calcula la matriz XX en la ecuación matricial A⋅B⋅X=C⋅X+IA \cdot B \cdot X = C \cdot X + I, donde II es la matriz identidad de orden 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos

Elija y resuelva sólo uno de los dos apartados siguientes (a o b).

a
Una fábrica de quesos organiza paquetes para enviar: A y B. Para la elaboración del paquete tipo A se necesitan 30 minutos de trabajo manual y 45 minutos de trabajo en máquinas. Para la de tipo B, 60 minutos de trabajo manual y 20 minutos de máquinas. Tienen necesidad de enviarlo pronto, por lo que disponen de 85 horas de trabajo manual y 75 horas de trabajo con máquinas y deben enviar, al menos, 100 paquetes. El beneficio total es de 20 € por cada paquete tipo A y 17 € por cada paquete tipo B y se pretende maximizar el beneficio total.2,5 pts
a.1
Expresa la función objetivo; escribe, mediante inecuaciones, las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.2 pts
Representación gráfica de la región factible con vértices en (100,0), (30,70) y (80,45)
a.2
Determina cuántos paquetes de cada tipo tiene que fabricar la empresa para que el beneficio sea máximo.0,5 pts
b
Se va a proceder a la selección de pilotos para una compañía de vuelos. Se realizan tres pruebas independientes: A (idiomas), B (conocimientos teórico-prácticos) y C (pruebas físicas). Para acceder al puesto hay que superar las tres pruebas y se sabe, por procesos realizados anteriormente, que el 10%10\% de los presentados superan la prueba A, la B, el 40%40\% y la C, el 20%20\%. Sabiendo que todos los candidatos realizan las tres pruebas, se pide, de forma razonada:2,5 pts
b.1
¿Cuál es la probabilidad de que un candidato pase la selección?0,5 pts
b.2
¿Cuál es la probabilidad de que un candidato no sea seleccionado por haber fallado en una sola prueba?0,5 pts
b.3
Sabiendo que un candidato no ha sido seleccionado por haber fallado en una sola prueba, ¿cuál es la probabilidad de que haya fallado en la prueba B?0,25 pts
b.4
Si la velocidad punta de la prueba física de carrera de 1000 m sigue una función de la forma: V(t)=at3+bt2+tV(t) = at^3 + bt^2 + t, con tt en minutos, y sabemos que alcanza el máximo en el instante t=1t = 1 alcanzando, en ese instante, una velocidad de 150150 m/min, encuentra los valores de los parámetros aa y bb.1,25 pts
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