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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2018OrdinariaVariante Suplente

Matemáticas II · Andalucía 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calculalim⁡x→0tg⁡(x)−xx−sen⁡(x)\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tg(x) - x}{x - \sen(x)}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definidas por f(x)=−x2−x+3f(x) = -x^2 - x + 3 y g(x)=∣x∣g(x) = |x|.
a
Esboza el recinto limitado por las gráficas de ff y gg y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.1,25 pts
b
Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera la matriz M=(123603xyz)M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 3 \\ x & y & z \end{pmatrix}. Sabiendo que el determinante de MM es 2, calcula los siguientes determinantes e indica las propiedades que utilices:
a
El determinante de la matriz 5M45M^4.0,75 pts
b
∣201123xyz∣\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \end{vmatrix}0,75 pts
c
∣1x+6x2yy3z+3z∣\begin{vmatrix} 1 & x + 6 & x \\ 2 & y & y \\ 3 & z + 3 & z \end{vmatrix}1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea rr la recta que pasa por los puntos A(3,6,7)A(3, 6, 7) y B(7,8,3)B(7, 8, 3) y sea ss la recta dada por{x−4y−z=−103x−4y+z=−2\begin{cases} x - 4y - z = -10 \\ 3x - 4y + z = -2 \end{cases}
a
Determina la posición relativa de rr y ss.1,25 pts
b
Calcula la distancia entre rr y ss.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se desea construir una caja sin tapadera de base cuadrada. El precio del material es de 18 euros/m2^2 para los laterales y de 24 euros/m2^2 para la base. Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir si disponemos de 50 euros.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se sabe que la función f:[0,+∞)→Rf : [0, +\infty) \to \mathbb{R} dada porf(x)={axsi0≤x≤8x2−32x−4six>8f(x) = \begin{cases} \sqrt{ax} & \text{si} \quad 0 \leq x \leq 8 \\ \frac{x^2 - 32}{x - 4} & \text{si} \quad x > 8 \end{cases}es continua.
a
Determina aa.0,5 pts
b
Para a=8a = 8, calcula ∫010f(x)dx\int_{0}^{10} f(x) dx.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera la matriz A=(0−1−2020113)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}
a
Halla, si existe, la inversa de AA.0,75 pts
b
Determina los valores de mm tales que (A−mI)(A - mI) tiene inversa (II es la matriz identidad).1,25 pts
c
Calcula el rango de (A−2I)(A - 2I).0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Determina la ecuación del plano que pasa por el punto A(0,1,0)A(0, 1, 0) y es perpendicular a la recta rr dada por x+1=y+22=z−1x + 1 = \frac{y + 2}{2} = z - 1.1,25 pts
b
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano de ecuación 2x+3y+4z=122x + 3y + 4z = 12 con los ejes coordenados.1,25 pts
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