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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2019

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {2x+αy+3z=2x+y+z=1x−2y+αz=5\begin{cases} 2x + \alpha y + 3z = 2 \\ x + y + z = 1 \\ x - 2y + \alpha z = 5 \end{cases}, donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
Los valores de α\alpha para los que el sistema es compatible y determinado.
b)3 pts
La solución del sistema cuando α=−1\alpha = -1.
c)3 pts
El valor de α\alpha para que el sistema tenga una solución (x,y,z)(x, y, z) que verifique x+y+z=0x + y + z = 0.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Se dan las matrices A=(14−16)A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 6 \end{pmatrix} y X=(xy)X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
Los valores de α\alpha para los que la ecuación matricial AX=αXAX = \alpha X solo admite una solución.
b)3 pts
Todas las soluciones de la ecuación matricial AX=5XAX = 5X.
c)3 pts
Comprobar que X=(41)X = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} es una solución de la ecuación matricial AX=2XAX = 2X y, sin calcular la matriz A100A^{100}, obtener el valor β\beta tal que A100(41)=β(41)A^{100} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \beta \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Se da el plano π:2x+y+2z=8\pi: 2x + y + 2z = 8 y el punto P=(10,0,10)P = (10, 0, 10). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
La distancia del punto PP al plano π\pi.
b)4 pts
El área del triángulo cuyos vértices son los puntos AA, BB y CC, obtenidos al hallar la intersección del plano π\pi con los ejes de coordenadas.
c)3 pts
El volumen del tetraedro cuyos vértices son PP, AA, BB y CC.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Se dan en el espacio la recta r:x−α−1=y−4=zβr: \frac{x - \alpha}{-1} = \frac{y}{-4} = \frac{z}{\beta} y el plano π:x+2y+3z=6\pi: x + 2y + 3z = 6. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)5 pts
La posición relativa de la recta rr y el plano π\pi en función de los parámetros reales α\alpha y β\beta.
b)3 pts
La distancia entre la recta rr y el plano π\pi cuando α=6\alpha = 6 y β=3\beta = 3.
c)2 pts
La ecuación del plano que pasa por (0,0,0)(0, 0, 0) y que no corta al plano π\pi.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Se da la función real hh definida por h(x)=x3+x2+5x−3x2+2x+5h(x) = \frac{x^3 + x^2 + 5x - 3}{x^2 + 2x + 5}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
El dominio de la función hh. Los límites lim⁡x→+∞h(x)\lim_{x \to +\infty} h(x) y lim⁡x→0h(x)\lim_{x \to 0} h(x).
b)2 pts
La asíntota de la curva y=h(x)y = h(x).
c)5 pts
La primitiva de la función hh (es decir, ∫h(x)dx\int h(x) dx) y el área de la superficie encerrada entre las rectas y=0y = 0, x=1x = 1, x=5x = 5 y la curva y=h(x)y = h(x).
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Un proyectil está unido al punto (0,2)(0, 2) por una cuerda elástica y tensa. El proyectil recorre la curva y=4−x2y = 4 - x^2 de extremos (−2,0)(-2, 0) y (2,0)(2, 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)2 pts
La función de la variable xx que expresa la distancia entre un punto cualquiera (x,4−x2)(x, 4 - x^2) de la curva y=4−x2y = 4 - x^2 y el punto (0,2)(0, 2).
b)2 pts
Los puntos de la curva y=4−x2y = 4 - x^2 a mayor distancia absoluta del punto (0,2)(0, 2) para −2≤x≤2-2 \leq x \leq 2.
c)2 pts
Los puntos de la curva y=4−x2y = 4 - x^2 a menor distancia absoluta del punto (0,2)(0, 2) para −2≤x≤2-2 \leq x \leq 2.
d)4 pts
El área de la superficie por la que se ha movido la cuerda elástica, es decir, el área comprendida entre las curvas y=4−x2y = 4 - x^2 e y=2−∣x∣y = 2 - |x| cuando −2≤x≤2-2 \leq x \leq 2.
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