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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2019

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solamente UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {2x+αy+3z=2x+y+z=1x−2y+αz=5\begin{cases} 2x + \alpha y + 3z = 2 \\ x + y + z = 1 \\ x - 2y + \alpha z = 5 \end{cases}, donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los valores de α\alpha para los que el sistema es compatible y determinado.4 pts
b
La solución del sistema cuando α=−1\alpha = -1.3 pts
c
El valor de α\alpha para que el sistema tenga una solución (x,y,z)(x, y, z) que verifique x+y+z=0x + y + z = 0.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se da el plano π:2x+y+2z=8\pi: 2x + y + 2z = 8 y el punto P=(10,0,10)P = (10, 0, 10). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La distancia del punto PP al plano π\pi.3 pts
b
El área del triángulo cuyos vértices son los puntos AA, BB y CC, obtenidos al hallar la intersección del plano π\pi con los ejes de coordenadas.4 pts
c
El volumen del tetraedro cuyos vértices son PP, AA, BB y CC.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se da la función real hh definida por h(x)=x3+x2+5x−3x2+2x+5h(x) = \frac{x^3 + x^2 + 5x - 3}{x^2 + 2x + 5}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El dominio de la función hh. Los límites lim⁡x→+∞h(x)\lim_{x \to +\infty} h(x) y lim⁡x→0h(x)\lim_{x \to 0} h(x).3 pts
b
La asíntota de la curva y=h(x)y = h(x).2 pts
c
La primitiva de la función hh (es decir, ∫h(x)dx\int h(x) dx) y el área de la superficie encerrada entre las rectas y=0y = 0, x=1x = 1, x=5x = 5 y la curva y=h(x)y = h(x).5 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Se dan las matrices A=(14−16)A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 6 \end{pmatrix} y X=(xy)X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los valores de α\alpha para los que la ecuación matricial AX=αXAX = \alpha X solo admite una solución.4 pts
b
Todas las soluciones de la ecuación matricial AX=5XAX = 5X.3 pts
c
Comprobar que X=(41)X = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} es una solución de la ecuación matricial AX=2XAX = 2X y, sin calcular la matriz A100A^{100}, obtener el valor β\beta tal que A100(41)=β(41)A^{100} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \beta \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan en el espacio la recta r:x−α−1=y−4=zβr: \frac{x - \alpha}{-1} = \frac{y}{-4} = \frac{z}{\beta} y el plano π:x+2y+3z=6\pi: x + 2y + 3z = 6. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La posición relativa de la recta rr y el plano π\pi en función de los parámetros reales α\alpha y β\beta.5 pts
b
La distancia entre la recta rr y el plano π\pi cuando α=6\alpha = 6 y β=3\beta = 3.3 pts
c
La ecuación del plano que pasa por (0,0,0)(0, 0, 0) y que no corta al plano π\pi.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Un proyectil está unido al punto (0,2)(0, 2) por una cuerda elástica y tensa. El proyectil recorre la curva y=4−x2y = 4 - x^2 de extremos (−2,0)(-2, 0) y (2,0)(2, 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La función de la variable xx que expresa la distancia entre un punto cualquiera (x,4−x2)(x, 4 - x^2) de la curva y=4−x2y = 4 - x^2 y el punto (0,2)(0, 2).2 pts
b
Los puntos de la curva y=4−x2y = 4 - x^2 a mayor distancia absoluta del punto (0,2)(0, 2) para −2≤x≤2-2 \leq x \leq 2.2 pts
c
Los puntos de la curva y=4−x2y = 4 - x^2 a menor distancia absoluta del punto (0,2)(0, 2) para −2≤x≤2-2 \leq x \leq 2.2 pts
d
El área de la superficie por la que se ha movido la cuerda elástica, es decir, el área comprendida entre las curvas y=4−x2y = 4 - x^2 e y=2−∣x∣y = 2 - |x| cuando −2≤x≤2-2 \leq x \leq 2.4 pts
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