Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2021

16 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Números y Álgebra
Sea A=(aij)A = (a_{ij}) la matriz de dimensión 3×33 \times 3 definida por aij={1si i=2,(−1)j(i−1)si i≠2.a_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = 2, \\ (-1)^j(i - 1) & \text{si } i \neq 2. \end{cases} Explique si AA y A+IA + I son o no invertibles y calcule las inversas cuando existan. (Nota: aija_{ij} es el elemento de AA que está en la fila ii y en la columna jj, e II es la matriz identidad.)
Ver este ejercicio

Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Números y Álgebra
Despeje XX en la ecuación matricial B(X−I)=AB(X - I) = A, donde II es la matriz identidad y AA y BB son matrices cuadradas, con BB invertible. Luego, calcule XX si A=(000111−22−2)yB=(10001/20001/3)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Números y Álgebra
Discuta, según los valores del parámetro mm, el sistema {x+2y=m,my+3z=1,x+(m+2)y+(m+1)z=m+1.\begin{cases} x + 2y = m, \\ my + 3z = 1, \\ x + (m + 2)y + (m + 1)z = m + 1. \end{cases}
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Números y Álgebra
Discuta, según los valores del parámetro mm, el siguiente sistema: {mx+y+z=2m,mx+(m+1)y+z=1,mx+(m+1)y+2z=m+1.\begin{cases} mx + y + z = 2m, \\ mx + (m + 1)y + z = 1, \\ mx + (m + 1)y + 2z = m + 1. \end{cases}
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Análisis
De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos lados sobre los ejes de coordenadas y un vértice sobre la recta x+2y=4x + 2y = 4, determine los vértices del que tiene mayor área.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Análisis
a)0,5 pts
Enuncie el teorema de Bolzano.
b)1,5 pts
Obtenga los valores de aa, bb y cc que hacen que f(x)=ax3+bx2−3x+cf(x) = ax^3 + bx^2 - 3x + c cumpla f(0)=1f(0) = 1 y tenga extremos relativos en x=±1x = \pm 1. Diga luego si los extremos son máximos o mínimos.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Análisis
Dada la función f(x)={x2−x−1si x≤0,−x2−x−1si x>0,f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{si } x \leq 0, \\ -x^2 - x - 1 & \text{si } x > 0, \end{cases} calcule el área de la región encerrada por la gráfica de ff y las rectas y=4x−7y = 4x - 7 e y=1y = 1.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Análisis
a)0,5 pts
Enuncie el teorema de Rolle.
b)1,5 pts
Calcule el área de la región encerrada por las gráficas de f(x)=x+6f(x) = x + 6 y g(x)={−2xsi x<0,x2si x≥0.g(x) = \begin{cases} -2x & \text{si } x < 0, \\ x^2 & \text{si } x \geq 0. \end{cases}
Ver este ejercicio

Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Geometría
a)1 pts
Obtenga la ecuación implícita del plano π\pi que pasa por los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(0,2,0)B(0, 2, 0) y C(0,0,3)C(0, 0, 3).
b)1 pts
Calcule el punto simétrico de P(10,−5,5)P(10, -5, 5) con respecto al plano π:6x+3y+2z−6=0\pi: 6x + 3y + 2z - 6 = 0.
Ver este ejercicio

Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Geometría
a)1 pts
Obtenga la ecuación implícita del plano π\pi con ecuaciones paramétricas π:{x=1−λ,y=2+μ,z=1+λ+2μ,λ,μ∈R\pi: \begin{cases} x = 1 - \lambda, \\ y = 2 + \mu, \\ z = 1 + \lambda + 2\mu, \end{cases} \lambda, \mu \in \mathbb{R}.
b)1 pts
Calcule el valor de mm para que los siguientes puntos sean coplanarios: A(0,m,0)A(0, m, 0), B(0,2,2)B(0, 2, 2), C(1,4,3)C(1, 4, 3) y D(2,0,2)D(2, 0, 2). Obtenga la ecuación implícita del plano π\pi que los contiene.
Ver este ejercicio

Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Geometría
a)1 pts
Halle el valor de aa si el plano π:ax+y+z=0\pi: ax + y + z = 0 es paralelo a la recta r:{x=1+λ,y=1+λ,z=2+λ,λ∈Rr: \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = 1 + \lambda, \\ z = 2 + \lambda, \end{cases} \lambda \in \mathbb{R}.
b)1 pts
Estudie la posición relativa de los planos π1:2x+y+mz+m=0\pi_1: 2x + y + mz + m = 0 y π2:(m−1)x+y+3z=0\pi_2: (m - 1)x + y + 3z = 0 en función del parámetro mm.
Ver este ejercicio

Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Geometría
Calcule el punto simétrico de P(1,1,2)P(1, 1, 2) con respecto al plano π:2x−y+z+3=0\pi: 2x - y + z + 3 = 0.
Ver este ejercicio

Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2 puntos
Estadística y Probabilidad
a)1 pts
Sean AA y BB dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcule P(A)P(A) sabiendo que P(B)=2P(A)P(B) = 2P(A), P(A∩B)=0,1P(A \cap B) = 0{,}1 y P(A∪B)=0,8P(A \cup B) = 0{,}8.
b)1 pts
Diga si los sucesos AA y BB son o no independientes, si se sabe que P(A)=0,6P(A) = 0{,}6, P(B)=0,3P(B) = 0{,}3 y P(Aˉ∪Bˉ)=0,82P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0{,}82.
Ver este ejercicio

Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2 puntos
Estadística y Probabilidad
En una determinada ciudad, el 8%8\% de la población practica yoga, el 20%20\% tiene mascota y el 3%3\% practica yoga y tiene mascota. Si en esa ciudad se elige una persona al azar, calcule:
a)1 pts
La probabilidad de que no practique yoga y a la vez tenga mascota.
b)1 pts
La probabilidad de que tenga mascota sabiendo que practica yoga.
Ver este ejercicio

Ejercicio 8 · Opción A

8Opción A
2 puntos
Estadística y Probabilidad
El portador de una cierta enfermedad tiene un 10%10\% de probabilidades de contagiarla a quien no estuvo expuesto a ella. Si entra en contacto con 8 personas que no estuvieron expuestas, calcule:
a)1 pts
La probabilidad de que contagie a un máximo de 2 personas.
b)1 pts
La probabilidad de que contagie a 2 personas por lo menos.
Ver este ejercicio

Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2 puntos
Estadística y Probabilidad
El grosor de las planchas de acero que se producen en una cierta fábrica sigue una distribución normal de media 8 mm8\,\text{mm} y desviación típica 0,5 mm0{,}5\,\text{mm}. Calcule la probabilidad de que una plancha elegida al azar tenga un grosor comprendido entre 7,6 mm7{,}6\,\text{mm} y 8,2 mm8{,}2\,\text{mm}.
Ver este ejercicio