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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2018

4 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Resuelva el sistema:(243222132)(xyz)=(000)\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}1,5 pts
b
Sabiendo que el determinante de la matriz AA siguiente:A=(111abcxyz)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{pmatrix}es 4, es decir ∣A∣=4|A| = 4, determine el determinante de la matriz BB que aparece a continuación:B=(23a+kx+523b+ky+523c+kz+5)B = \begin{pmatrix} 2 & 3a + k & x + 5 \\ 2 & 3b + k & y + 5 \\ 2 & 3c + k & z + 5 \end{pmatrix}1,5 pts
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
a
Dados los vectores u⃗=(1,2,1)\vec{u} = (1, 2, 1), v⃗=(2,1,1)\vec{v} = (2, 1, 1) y w⃗=(0,2,1)\vec{w} = (0, 2, 1), determine el volumen del paralelepípedo que definen esos tres vectores.0,5 pts
b
Determine la posición relativa de las rectas rr y ss siguientes:r:x+14=y6=z+21r: \frac{x + 1}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z + 2}{1}s:{−x+y+2z−4=0x+2y+z−5=0s: \begin{cases} -x + y + 2z - 4 = 0 \\ x + 2y + z - 5 = 0 \end{cases}1 pt
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Ejercicio 3

3
4 puntos
a
Considere la función:f(x)=x2−3x+3x−1f(x) = \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}2,5 pts
a.1
Determine las asíntotas de la función f(x)f(x).1 pt
a.2
Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los mínimos y máximos relativos de la función f(x)f(x).1,5 pts
b
Calcule la siguiente integral:∫9x2+x−2dx\int \frac{9}{x^2 + x - 2} dx1,5 pts
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Ejercicio 4

4
1,5 puntos
Se lanza 10 veces un dado equilibrado (es decir un dado donde todas sus caras tiene la misma probabilidad de aparecer).
a
Determine la probabilidad de que salga un número par en todos los lanzamientos.0,75 pts
b
Determine la probabilidad de que salga un número par exactamente en tres lanzamientos. (NO es preciso finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen y sin hacer los cálculos).0,75 pts
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Dadas las matrices:A=(010100001),B=(1−111−10202)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}encuentre la matriz XX, de dimensión 3×33 \times 3, que resuelve la ecuación matricial:AX+B=A2AX + B = A^21,5 pts
b
Determine el rango de la matriz CC siguiente según los diferentes valores del parámetro kk:C=(21342kkk1)C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & k \\ k & k & 1 \end{pmatrix}1,5 pts
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
Determine el valor de los parámetros mm y nn que hacen que la recta:r:{x+y+z=22x+3y+z=3r: \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \end{cases}esté contenida en el plano:π:mx+y+nz=4\pi : mx + y + nz = 4
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Ejercicio 3

3
4 puntos
a
Calcule el límite:lim⁡x→+∞(x2+1x−x3−x2−x+2x2)3+x2x\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\frac{x^2 + 1}{x} - \frac{x^3 - x^2 - x + 2}{x^2}\right)^{\frac{3 + x^2}{x}}1,5 pts
b
De entre todos los triángulos rectángulos que tiene un área de 1 cm21\,\text{cm}^2, determine el que tiene la hipotenusa de longitud mínima y proporcione las longitudes de los tres lados de ese triángulo.1,5 pts
c
Calcule el área limitada por la curva f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x y la recta g(x)=x+4g(x) = x + 4.1 pt
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Ejercicio 4

4
1,5 puntos
a
En una clase de 20 alumnos, 10 estudian ruso, 12 practican algún deporte y tan solo 2 hacen ambas cosas. ¿Cuál es la probabilidad de que, al escoger un alumno al azar, si estudia ruso, practique algún deporte?0,75 pts
b
Un tirador de pistola olímpica, tiene una probabilidad de 0,80{,}8 de hacer blanco. Si dispara 12 veces, ¿cuál es la probabilidad de que haga 10 o más blancos?. (NO es preciso finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen y sin hacer los cálculos).0,75 pts
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