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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2025OrdinariaSuplente 1

Matemáticas II · Andalucía 2025

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados. c) Este examen consta de siete ejercicios distribuidos en un bloque con un ejercicio obligatorio y tres bloques con dos ejercicios optativos cada uno. d) Deberá resolver el ejercicio obligatorio y solamente un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad. e) En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar. f) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,52{,}5 puntos. g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados. h) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. i) Se proporcionará la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque obligatorio
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=(x−1)exf(x) = (x - 1)e^x
a
Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de inflexión.1,5 pts
b
Estudia y calcula las asíntotas de la función.1 pt

Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios de este bloque (Ejercicio 2 o Ejercicio 3).

Sea la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=(x−1)2f(x) = (x - 1)^2.
a
Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de ff y la recta y=ay = a con a>0a > 0.0,75 pts
b
Calcula a>0a > 0 para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de ff y la recta y=ay = a sea 43\frac{4}{3} unidades cuadradas.1,75 pts

Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios de este bloque (Ejercicio 2 o Ejercicio 3).

Considera la funciónf(x)={xsen⁡(2x)si x≤0cos⁡(πx)−1si x>0 f(x) = \begin{cases} x \sen(2x) & \text{si } x \leq 0 \\ \cos(\pi x) - 1 & \text{si } x > 0 \end{cases} Calcula ∫−π41f(x)dx\int_{-\frac{\pi}{4}}^{1} f(x) dx.

Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios de este bloque (Ejercicio 4 o Ejercicio 5).

Sean los puntos A(3,−1,1)A(3, -1, 1), B(1,3,−3)B(1, 3, -3) y C(−2,−2,1)C(-2, -2, 1).
a
Calcula el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.1 pt
b
Halla los puntos DD pertenecientes al eje OZOZ para que el tetraedro de vértices AA, BB, CC y DD tenga un volumen de 20 unidades cúbicas.1,5 pts

Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios de este bloque (Ejercicio 4 o Ejercicio 5).

Considera el plano π≡2x+y+2z+5=0\pi \equiv 2x + y + 2z + 5 = 0.
a
Calcula el punto simétrico de P(1,0,1)P(1, 0, 1) respecto de π\pi.1,5 pts
b
Calcula los planos paralelos a π\pi y que disten 2 unidades de π\pi.1 pt

Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios de este bloque (Ejercicio 6 o Ejercicio 7).

Sea la matriz A=(αα+401α10α+4α)A = \begin{pmatrix} \alpha & \alpha + 4 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha + 4 & \alpha \end{pmatrix}
a
Indica para qué valores de α\alpha la matriz AA admite inversa.1 pt
b
Para α=1\alpha = 1 determina, si es posible, la matriz inversa de AA.1,5 pts

Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios de este bloque (Ejercicio 6 o Ejercicio 7).

Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 13 mm13\,\text{mm} y desviación típica 0,1 mm0{,}1\,\text{mm}. Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo el diámetro debe estar entre 12,9 mm12{,}9\,\text{mm} y 13,15 mm13{,}15\,\text{mm}. No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los cambios de temperatura y pierde eficacia cuando ésta sube considerablemente. El 15 de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 12,9 mm12{,}9\,\text{mm} y desviación típica 0,2 mm0{,}2\,\text{mm}.
a
En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?1,25 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que el 15 de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?1,25 pts