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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2017Ordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2017

12 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. a) Responde solo a una de las dos opciones (OPCIÓN A/ OPCIÓN B). b) No está permitido el uso de calculadoras gráficas o programables.

Ejercicio 1 · A · Parte A1

1Opción A
2 puntos
Parte A1
Sea f(x)=x3−3ax2+3a2x+bf(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x + b, con aa un valor real positivo.
a
Determinar aa y bb sabiendo que la curva y=f(x)y = f(x) pasa por el punto (1,1)(1,1) y la recta tangente en dicho punto tiene pendiente doce.1 pt
b
Tomando a=1/3a = 1/3 y b=−1/3b = -1/3 calcula lim⁡x→13⋅f(x)x2−1\lim_{x \to 1} \frac{3 \cdot f(x)}{x^2 - 1}.1 pt
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Ejercicio 1 · A · Parte A2

1Opción A
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte A2.

Sobre dos muros formando un ángulo recto de longitudes respectivas 11 y 33 metros (en rojo en la figura) vamos a construir una casa con una planta como la de la figura. Responde a las siguientes cuestiones.
Plano de la planta de la casa con dimensiones x, y y muros de 1 y 3 metros
a
Si queremos que la planta tenga un área de 2222 metros cuadrados, determinar los valores de xx e yy para que el número de metros de muro que debemos construir sea mínimo.1 pt
b
Si deseamos cerrar la planta construyendo 3636 metros de muro, determinar los valores de xx e yy para que el área de la planta sea máxima.1 pt
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Ejercicio 1 · B · Parte B1

1Opción B
2 puntos
Parte B1
Sea f(x)=x3−3ax2+3a2x+bf(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x + b, con aa un valor real positivo.
a
Determinar aa y bb sabiendo que la curva y=f(x)y = f(x) pasa por el punto (1,1)(1,1) y la recta tangente en dicho punto tiene pendiente doce.1 pt
b
Tomando a=1/3a = 1/3 y b=−1/3b = -1/3, calcula lim⁡x→13⋅f(x)x2−1\lim_{x \to 1} \frac{3 \cdot f(x)}{x^2 - 1}.1 pt
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Ejercicio 1 · B · Parte B2

1Opción B
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte B2.

Sea la función f(x)=x2−xf(x) = \frac{x}{2 - x}.
a
Determinar las asíntotas de la función dada.1 pt
b
Calcular la integral definida ∫02(2−x)⋅(f(x)−x) dx\int_{0}^{2} (2 - x) \cdot (f(x) - x) \, dx.1 pt
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Ejercicio 2 · A · Parte A1

2Opción A
2 puntos
Parte A1
En la sociedad recreativa Los Pelendones hay tres quioscos en los que se venden refrescos, bocadillos y bolsas de snacks (patatas fritas, cortezas, cacahuetes, etc.). Todos los productos del mismo tipo tienen un único precio; es decir, todos los refrescos cuestan igual y lo mismo para los bocadillos y las bolsas de snacks. A lo largo de un día de verano la distribución de ventas y los ingresos de los tres quioscos aparecen reflejados en la tabla adjunta.
Primer quioscoSegundo quioscoTercer quiosco
Refrescos vendidos201215
Bocadillos vendidos402532
Bolsas de snacks vendidas201324
Ingresos (en euros)210 €131 €178 €
a
Plantea un sistema de ecuaciones que permita determinar el precio de cada uno de los tipos de productos que se venden en los quioscos de la sociedad.1 pt
b
Determina el precio de los distintos tipos de productos.1 pt
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Ejercicio 2 · A · Parte A2

2Opción A
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte A2.

Consideremos la matriz A=(2a−5a−24−a1)A = \begin{pmatrix} 2a - 5 & a - 2 \\ 4 - a & 1 \end{pmatrix}
Datos
  • AtA^t indica la matriz traspuesta de la matriz AA
  • I2I_2 la matriz identidad de orden dos
a
Determinar los valores de aa para los que existe la matriz inversa A−1A^{-1}.1 pt
b
Tomando a=1a = 1, determinar una matriz XX tal que A⋅X=At−A+8⋅I2A \cdot X = A^t - A + 8 \cdot I_2.1 pt
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Ejercicio 2 · B · Parte B1

2Opción B
2 puntos
Parte B1
En la sociedad recreativa Los Pelendones hay tres quioscos en los que se venden refrescos, bocadillos y bolsas de snacks (patatas fritas, cortezas, cacahuetes, etc.). Todos los productos del mismo tipo tienen un único precio; es decir, todos los refrescos cuestan igual y lo mismo para los bocadillos y las bolsas de snacks. A lo largo de un día de verano la distribución de ventas y los ingresos de los tres quioscos aparecen reflejados en la tabla adjunta.
Primer quioscoSegundo quioscoTercer quiosco
Refrescos vendidos201215
Bocadillos vendidos402532
Bolsas de snacks vendidas201324
Ingresos (en euros)210 €131 €178 €
a
Plantea un sistema de ecuaciones que permita determinar el precio de cada uno de los tipos de productos que se venden en los quioscos de la sociedad.1 pt
b
Determina el precio de los distintos tipos de productos.1 pt
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Ejercicio 2 · B · Parte B2

2Opción B
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte B2.

Los productores de las películas de James Bond ya se han puesto a trabajar en la próxima entrega de la saga. Han decidido hacer una planificación de las secuencias de acción y de las persecuciones que introducirán en la nueva película y se han puesto las siguientes limitaciones: 1. La película debe contener al menos una persecución y dos escenas de acción. 2. El número de persecuciones debe ser menor o igual que el doble de las escenas de acción. 3. La suma de persecuciones y escenas de acción debe ser menor o igual que nueve. Ayuda a los productores y resuelve las siguientes cuestiones:
a
Plantea el conjunto de restricciones y dibuja la región factible asociada con ellas.1 pt
b
Si cada escena de acción aporta 0,80{,}8 millones de espectadores a la película y cada persecución 1,21{,}2 millones, ¿cuál debe ser la distribución de persecuciones y escenas de acción para maximizar el número de espectadores que verán la película?1 pt
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Ejercicio 3 · A · Parte A1

3Opción A
2 puntos
Parte A1
El peso de las peras de una cosecha en Rincón de Soto sigue una distribución normal con una desviación típica de 2525 gramos.
Datos
  • Desviación típica σ=25\sigma = 25 gramos
a
Supongamos que tomamos una muestra de 121121 peras y obtenemos un peso medio de 150150 gramos. Determinar un intervalo de confianza al 90%90\% para la media del peso.1 pt
b
¿Cuál habrá sido el tamaño y la media de una muestra si el intervalo de confianza al 85%85\% obtenido para la media del peso es (156,4,163,6)(156{,}4, 163{,}6)?1 pt
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Ejercicio 3 · A · Parte A2

3Opción A
2 puntos
Parte A2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte A2.

Nuestro amigo José, reciente ganador de un concurso local de tortillas, elabora la tortilla de su bar usando patatas y huevos. Un 80%80\% de las tortillas las hace exclusivamente con patatas de Santo Domingo de la Calzada y el resto con patatas de otras zonas. Cuando emplea patatas de Santo Domingo, en el 60%60\% de los casos pone únicamente huevos de gallinas camperas y en el 40%40\% restante utiliza huevos de granja avícola. Cuando la patata no es de Santo Domingo invierte los porcentajes a la hora de añadir los huevos.
a
Cuando tomamos un pincho en el bar de José, ¿cuál es la probabilidad de que esté hecho con huevos de gallina campera?1 pt
b
Si la tortilla está hecha con huevos camperos, ¿cuál es la probabilidad de que lleve patatas de Santo Domingo?1 pt
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Ejercicio 3 · B · Parte B1

3Opción B
2 puntos
Parte B1
El peso de las peras de una cosecha en Rincón de Soto sigue una distribución normal con una desviación típica de 2525 gramos.
Datos
  • Desviación típica σ=25\sigma = 25 gramos
a
Supongamos que tomamos una muestra de 121121 peras y obtenemos un peso medio de 150150 gramos, determinar un intervalo de confianza al 90%90\% para la media del peso.1 pt
b
¿Cuál habrá sido el tamaño y la media de una muestra si el intervalo de confianza al 85%85\% obtenido para la media del peso es (156,4,163,6)(156{,}4, 163{,}6)?1 pt
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Ejercicio 3 · B · Parte B2

3Opción B
2 puntos
Parte B2

Responda a dos de las tres preguntas de la Parte B2.

En un dispositivo como el de la figura adjunta, una canica que se lanza desde el punto OO sale por AA con una probabilidad del 30%30\%, por BB con una probabilidad del 50%50\% y por CC con una probabilidad del 20%20\%. Tras tres lanzamientos, calcular:
Dispositivo de lanzamiento de canicas con tres salidas A, B y C y sus probabilidades
a
La probabilidad de que la canica haya salido por CC en algún lanzamiento.1 pt
b
La probabilidad de que en los tres lanzamientos la canica haya salido por agujeros distintos.1 pt
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