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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2014

4 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea mm un número real y considere la matriz:A=(10mm0−12−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m \\ m & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}
a
Determine todos los valores de mm para los que la matriz AA tiene inversa.1 pt
b
Determine, si existe, la inversa de AA cuando m=0m = 0.1 pt
c
Determine, si existe, la inversa de A2A^2 cuando m=0m = 0.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dados el punto P≡(1,−1,0)P \equiv (1, -1, 0), y la recta:s:{−2x+z−1=03x−y−3=0s: \begin{cases} -2x + z - 1 = 0 \\ 3x - y - 3 = 0 \end{cases}
a
Determine la ecuación general del plano (Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0) que contiene al punto PP y a la recta ss.1,5 pts
b
Determine el ángulo que forman el plano π:2x+y−z+1=0\pi : 2x + y - z + 1 = 0 y la recta ss.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la función:f(x)=x2+3x2+2f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 + 2}
a
Determine las asíntotas, horizontales, verticales y oblicuas, que tenga la función f(x)f(x).1,5 pts
b
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x). ¿Tiene la función f(x)f(x) algún máximo o mínimo relativo?1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Usando el cambio de variable t=ln⁡(x)t = \ln(x), determine el valor de la integral:∫1+3ln⁡(x)+(ln⁡(x))3x(1−(ln⁡(x))2) dx\int \frac{1 + 3 \ln(x) + (\ln(x))^3}{x (1 - (\ln(x))^2)} \, dx1,25 pts
b
Determine el límite:lim⁡x→0(cos⁡(x))(1sen⁡(x))2\lim_{x \rightarrow 0} (\cos(x))^{(\frac{1}{\sen(x)})^2}1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere las matrices de orden 2×22 \times 2 siguientes:A=(1−4−2−1)B=(12−10)D=(42−2−3)A = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad D = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}
a
Determine dos matrices MM y NN de orden 2×22 \times 2 tales que:{AM+BN=DAM=N\begin{cases} AM + BN = D \\ AM = N \end{cases}1,5 pts
b
Se considera una matriz GG de orden 3×33 \times 3, cuyas columnas se representan por C1,C2,C3C_1, C_2, C_3 y cuyo determinante vale 22. Considere ahora la matriz HH cuyas columnas son C3,C3+C2,3C1C_3, C_3 + C_2, 3C_1, ¿cuál es el determinante de esta nueva matriz HH?1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere las rectas:r:{2x−4z=2x+y+z=1s:x2=y+2a=z−(1/2)1r: \begin{cases} 2x - 4z = 2 \\ x + y + z = 1 \end{cases} \qquad s: \frac{x}{2} = \frac{y + 2}{a} = \frac{z - (1/2)}{1}
a
Determine la posición relativa de dichas rectas, según los diferentes valores de aa.2 pts
b
Si a=2a = 2, determine el ángulo que forman las rectas rr y ss.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de la función:g(x)=exx+1g(x) = \frac{e^x}{x + 1}1,5 pts
b
Determine:lim⁡x→+∞3x2+2x+2−3x2+x\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{3x^2 + 2x + 2} - \sqrt{3x^2 + x}1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Determine la integral:∫x2sen⁡(2x) dx\int x^2 \sen(2x) \, dx1,25 pts
b
Determine el área máxima que puede tener un rectángulo cuya diagonal mide 88 metros. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máxima?1,25 pts
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