Matemáticas II · Aragón 2014

Determine todos los valores de $m$ para los que la matriz $A$ tiene inversa.

Determine, si existe, la inversa de $A$ cuando $m = 0$.

Determine, si existe, la inversa de $A^2$ cuando $m = 0$.

Determine dos matrices $M$ y $N$ de orden $2 \times 2$ tales que: $$\begin{cases} AM + BN = D \\ AM = N \end{cases}$$

Se considera una matriz $G$ de orden $3 \times 3$, cuyas columnas se representan por $C_1, C_2, C_3$ y cuyo determinante vale $2$. Considere ahora la matriz $H$ cuyas columnas son $C_3, C_3 + C_2, 3C_1$, ¿cuál es el determinante de esta nueva matriz $H$?

Determine la ecuación general del plano ($Ax + By + Cz + D = 0$) que contiene al punto $P$ y a la recta $s$.

Determine el ángulo que forman el plano $\pi : 2x + y - z + 1 = 0$ y la recta $s$.

Determine la posición relativa de dichas rectas, según los diferentes valores de $a$.

Si $a = 2$, determine el ángulo que forman las rectas $r$ y $s$.

Determine las asíntotas, horizontales, verticales y oblicuas, que tenga la función $f(x)$.

Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. ¿Tiene la función $f(x)$ algún máximo o mínimo relativo?

Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de la función: $$g(x) = \frac{e^x}{x + 1}$$

Determine: $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{3x^2 + 2x + 2} - \sqrt{3x^2 + x}$$

Usando el cambio de variable $t = \ln(x)$, determine el valor de la integral: $$\int \frac{1 + 3 \ln(x) + (\ln(x))^3}{x (1 - (\ln(x))^2)} \, dx$$

Determine el límite: $$\lim_{x \rightarrow 0} (\cos(x))^{(\frac{1}{\sen(x)})^2}$$

Determine la integral: $$\int x^2 \sen(2x) \, dx$$

Determine el área máxima que puede tener un rectángulo cuya diagonal mide $8$ metros. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máxima?