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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos y todas las preguntas valen 2'5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función f(x)={3x2+sen⁡2x+2,si x≤0x3+2a⋅cos⁡x,si 0<x<πx+b3−2,si π≤xf(x) = \begin{cases} 3x^2 + \sen^2 x + 2, & \text{si } x \leq 0 \\ \sqrt[3]{x} + 2a \cdot \cos x, & \text{si } 0 < x < \pi \\ \sqrt[3]{x + b} - 2, & \text{si } \pi \leq x \end{cases}
a
Hallar valores de aa y bb para que f(x)f(x) sea continua en todo R\mathbb{R} (explicar).1 pt
b
Estudiar derivabilidad en todo R\mathbb{R} de la función f(x)f(x), con los valores de aa y bb obtenidos anteriormente.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcular:
a
∫(5⋅x3−3x3+2x2) dx\int (5 \cdot \sqrt[3]{x} - 3x^3 + \frac{2}{x^2}) \, dx0,75 pts
b
∫5(2x−3)2+9 dx\int \frac{5}{(2x - 3)^2 + 9} \, dx1,25 pts
c
∫π/6π/2ctg⁡x dx\int_{\pi/6}^{\pi/2} \ctg x \, dx0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcular la matriz XX tal que X⋅A+3B=2CX \cdot A + 3B = 2C, siendo:A=(−1−324);B=(234−1);C=(−143−2)A = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} ; \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} ; \quad C = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dadas las rectas secantes:r1:{x=−1+λy=3−4λz=−2+3λ(λ∈R)yr2:{−5x+y+z=0x−y+z=2r_1: \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 3 - 4\lambda \\ z = -2 + 3\lambda \end{cases} \quad (\lambda \in \mathbb{R}) \quad \text{y} \quad r_2: \begin{cases} -5x + y + z = 0 \\ x - y + z = 2 \end{cases}obtener las ecuaciones en forma continua y en forma paramétrica de la recta ss que pasa por el punto de intersección de las rectas dadas y es perpendicular a ambas, explicando el procedimiento utilizado.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones, justificando en cada caso si la función es creciente o decreciente en el punto indicado:1,5 pts
a.1
f(x)=arcsen⁡(2x)−tg⁡(3x)f(x) = \operatorname{arcsen}(2x) - \tg(3x), en x=0x = 0.
a.2
g(x)=ex2−4+cos⁡(πx)g(x) = \sqrt{e^{x^2 - 4} + \cos(\pi x)}, en x=2x = 2.
b
Calcular el siguiente límite, explicando cómo lo hace: lim⁡x→0sen⁡x⋅(1−cos⁡x)ln⁡3(x+1)\lim_{x \to 0} \frac{\sen x \cdot (1 - \cos x)}{\ln^3(x + 1)}1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Obtener razonadamente dos números positivos, de forma que se cumplan los siguientes requisitos: i) La suma de ambos debe ser 60. ii) El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro resulte de valor máximo.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Discutir la compatibilidad del siguiente sistema según los distintos valores del parámetro mm:{3x+mz=1−x+my+2z=m2x+2z=1\begin{cases} 3x + mz = 1 \\ -x + my + 2z = m \\ 2x + 2z = 1 \end{cases}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dada la recta r:{x=−1+3λy=−5λz=2+2λ(λ∈R)r: \begin{cases} x = -1 + 3\lambda \\ y = -5\lambda \\ z = 2 + 2\lambda \end{cases} (\lambda \in \mathbb{R}) y dado el punto P(2,−2,3)P(2, -2, 3) exterior a rr,
a
Hallar la ecuación en forma general del plano π\pi que los contiene, explicando el procedimiento utilizado.1,5 pts
b
Obtener las ecuaciones en forma paramétrica, en forma continua y como intersección de dos planos, de la recta ss que pasa por PP y es perpendicular al plano π\pi, explicando el procedimiento utilizado.1 pt
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