Matemáticas II · Extremadura 2015

Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange.

Aplicando a la función $f(x) = x^3 + 2x$ el anterior teorema, pruebe que cualesquiera que sean los números reales $a < b$ se cumple la desigualdad $a - b < b^3 - a^3$.

Estudie el dominio de definición y las asíntotas de la función $$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}.$$

Estudie si la gráfica de la función $f(x)$ corta a alguna asíntota oblicua suya.

Represente, aproximadamente, la gráfica de $f(x)$ utilizando los valores $f(1)$ y $f(3)$.

Diga cuándo una función $F(x)$ es una primitiva de otra función $f(x)$.

Diga cómo puede comprobarse, sin necesidad de hacer derivadas, si dos funciones $F(x)$ y $G(x)$ son primitivas de una misma función.

Diga, razonando la respuesta, si las funciones $$F(x) = \frac{\sen x + \cos x}{\sen x} \quad \text{y} \quad G(x) = \frac{1 - \sen^2 x}{\cos x \cdot \sen x}$$ son primitivas de una misma función.

Calcule las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por los puntos $A = (0, 1, 1)$ y $B = (1, 1, -1)$.

Calcule todos los puntos de la recta $r$ que equidistan de los planos $\Pi_1 \equiv x + y = -2$ y $\Pi_2 \equiv x - z = 1$.

Calcule el vector $(\vec{e} \times \vec{u}) \times (\vec{v} \times \vec{e})$.

Calcule el vector $\vec{w} = \vec{e} \times (2\vec{u} - \vec{e} + 3\vec{v})$.