Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2015

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange.1 pt
b
Aplicando a la función f(x)=x3+2xf(x) = x^3 + 2x el anterior teorema, pruebe que cualesquiera que sean los números reales a<ba < b se cumple la desigualdad a−b<b3−a3a - b < b^3 - a^3.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Diga cuándo una función F(x)F(x) es una primitiva de otra función f(x)f(x).0,5 pts
b
Diga cómo puede comprobarse, sin necesidad de hacer derivadas, si dos funciones F(x)F(x) y G(x)G(x) son primitivas de una misma función.0,5 pts
c
Diga, razonando la respuesta, si las funcionesF(x)=sen⁡x+cos⁡xsen⁡xyG(x)=1−sen⁡2xcos⁡x⋅sen⁡x F(x) = \frac{\sen x + \cos x}{\sen x} \quad \text{y} \quad G(x) = \frac{1 - \sen^2 x}{\cos x \cdot \sen x} son primitivas de una misma función.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Resuelva la ecuación matricial AX+2B=CAX + 2B = C; siendoA=(21−1−1),B=(41−13),C=(9426). A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 9 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule las ecuaciones paramétricas de la recta rr que pasa por los puntos A=(0,1,1)A = (0, 1, 1) y B=(1,1,−1)B = (1, 1, -1).1 pt
b
Calcule todos los puntos de la recta rr que equidistan de los planos Π1≡x+y=−2\Pi_1 \equiv x + y = -2 y Π2≡x−z=1\Pi_2 \equiv x - z = 1.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Estudie el dominio de definición y las asíntotas de la funciónf(x)=x2−4x+3x−2. f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}. 1 pt
b
Estudie si la gráfica de la función f(x)f(x) corta a alguna asíntota oblicua suya.0,75 pts
c
Represente, aproximadamente, la gráfica de f(x)f(x) utilizando los valores f(1)f(1) y f(3)f(3).0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcule la siguiente integral definida de una función racional:∫1+21+5x−1x2−2x dx. \int_{1 + \sqrt{2}}^{1 + \sqrt{5}} \frac{x - 1}{x^2 - 2x} \, dx.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Determine el rango de la matriz AA según los valores de bb:A=(1b+21211b+11b). A = \begin{pmatrix} 1 & b + 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ b + 1 & 1 & b \end{pmatrix}.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean e⃗\vec{e}, u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} vectores en R3\mathbb{R}^3 tales que e⃗×u⃗=(1,0,−1)\vec{e} \times \vec{u} = (1, 0, -1) y v⃗×e⃗=(0,1,1)\vec{v} \times \vec{e} = (0, 1, 1).
a
Calcule el vector (e⃗×u⃗)×(v⃗×e⃗)(\vec{e} \times \vec{u}) \times (\vec{v} \times \vec{e}).0,75 pts
b
Calcule el vector w⃗=e⃗×(2u⃗−e⃗+3v⃗)\vec{w} = \vec{e} \times (2\vec{u} - \vec{e} + 3\vec{v}).1,75 pts
Ver este ejercicio