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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2011Ordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Es valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Considerad el sistema de ecuaciones en forma matricial A⋅X=0A \cdot X = 0, dondeA=(m−143m0−101),X=(xyz)y0=(000).\mathrm{A} = \begin{pmatrix} m & -1 & 4 \\ 3 & m & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad 0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
a
Determinad para qué valores de mm la matriz AA no tiene inversa.4 pts
b
Calculad, si es posible, la inversa de AA cuando m=0m = 0.4 pts
c
Determinad las soluciones del sistema A⋅X=0A \cdot X = 0 cuando m=0m = 0.2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Un tren de mercancías puede arrastrar como máximo 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones, y para motocicletas, no menos que la mitad de los vagones dedicados a coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 540 euros por cada vagón de coches y de 360 euros por cada vagón de motos, ¿cómo se deben distribuir los vagones para obtener el máximo ingreso? ¿Cuál es este ingreso? Se debe plantear el problema como un problema de programación lineal, representar gráficamente su conjunto factible de soluciones y resolverlo.
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considerad la funciónf(x)=x2−16x3−2x2−6x−8.f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^3 - 2x^2 - 6x - 8}.
a
Calculad lim⁡x→4f(x)\lim_{x \to 4} f(x).4 pts
b
¿Cuánto debe valer f(4)f(4) para que la función f(x)f(x) sea continua en x=4x = 4?2 pts
c
Calculad f′(x)f'(x) en cualquier punto x≠4x \neq 4 simplificando el resultado.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
En una determinada universidad hay estudiantes de ingeniería, de ciencias y de letras. Acaban los estudios el 15% de ingeniería, el 20% de ciencias y el 35% de los estudiantes de letras. Se sabe que el 20% estudia ingeniería, el 30% ciencias y el 50% letras.
a
Especificad los porcentajes dados como probabilidades.2 pts
b
Tomando un estudiante al azar: se pide la probabilidad de que haya acabado los estudios y sea de ingeniería.4 pts
c
Nos dice que ha acabado los estudios. Se pide la probabilidad de que sea de ingeniería.4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Una nación importa 21.000 vehículos mensuales de las marcas X, Y, Z, al precio de 1,21{,}2, 1,51{,}5 y 22 millones de euros respectivamente. Si el total de la importación asciende a 33.200 millones, y de la marca X se importa el 40% de la suma de las otras dos marcas,
a
¿Cuántos vehículos de cada marca entran al país?7 pts
b
¿Cuánto cuesta cada unidad de cada una de las marcas?3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Las autoridades sanitarias de una determinada comunidad autónoma planifican la contratación de personal sanitario para la puesta en marcha de puntos de atención continuada (PAC). En la comunidad hay dos zonas claramente diferenciadas, que llamaremos A y B, y cada una necesita una dotación específica distinta. Cada PAC de la zona A requiere 3 médicos y 3 enfermeros/as y una inversión de 30 millones de euros. En la zona B, cada centro necesita 2 médicos y 4 enfermeros/as y una inversión de 10 millones de euros. Para llevar a cabo tal proyecto se dispone de un máximo de 30 médicos, un máximo de 48 enfermeros/as y un máximo de 240 millones de euros.
a
¿Cuál es el número máximo de PAC que pueden ponerse en funcionamiento? Plantead el problema como un problema de programación lineal y representad gráficamente su conjunto factible de soluciones.8 pts
b
¿Cuántos en cada zona?2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
El número de personas ingresadas en Son Dureta por la gripe A después de tt semanas viene dado por la funciónP(t)=350t2t2−3t+8con t≥0.P(t) = \frac{350t}{2t^2 - 3t + 8} \quad \text{con } t \geq 0.
a
Calculad el máximo número de personas ingresadas y la semana en que tiene lugar.6 pts
b
Después de haber llegado al máximo, ¿a partir de qué semana el número de ingresados es más pequeño que 25?4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
En una oposición en la que participan miles de candidatos se hizo un examen tipo test. La desviación típica de las calificaciones fue de σ=10\sigma = 10. Si se elige una muestra de tamaño 100, con media muestral de 71 puntos, ¿cuál será el intervalo de confianza de la media poblacional con un nivel de confianza del 90%?
Datos
  • F(z)=P(X≤z)=∫−∞z12πe−12t2dtF(z) = P(X \leq z) = \int_{-\infty}^{z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt
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