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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2022Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2022

12 ejercicios

Ejercicio 1 · bloque 1

1bloque 1
1,5 puntos
Sección 1Bloque 1
Un fabricante comercializa 2 modelos de zapatillas para montaña, uno para mujer que le proporciona un beneficio de 28 euros por par y otro para hombre con un beneficio por cada par de 30 euros. El próximo mes tiene que fabricar entre 100 y 600 pares de zapatillas de hombre y un mínimo de 400 pares de mujer. Además solamente puede fabricar un máximo de 1200 pares de zapatillas.
a)1,25 pts
Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.
b)0,25 pts
Determina cuántos pares de zapatillas de cada modelo debe fabricar para que el beneficio sea máximo.
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Ejercicio 1 · bloque 2

1bloque 2
1,5 puntos
Sección 1Bloque 2
Se considera la función f(x)={2x−4si x≤c−(x−3)2+2si x>cf(x) = \begin{cases} 2x - 4 & \text{si } x \leq c \\ -(x - 3)^2 + 2 & \text{si } x > c \end{cases}
a)0,75 pts
¿Para qué valor de cc la función f(x)f(x) es continua en x=cx = c?
b)0,75 pts
Representa gráficamente la función f(x)f(x) para c=1c = 1.
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Ejercicio 2 · bloque 1

2bloque 1
1,5 puntos
Sección 1Bloque 1
La caja de bombones que compro cuesta 51 euros y contiene 12 bombones de chocolate negro, 6 de chocolate con leche y 6 de chocolate blanco. Cada bombón de chocolate negro cuesta un euro más que los de chocolate con leche y estos últimos cuestan 50 céntimos menos que los de chocolate blanco.
a)0,75 pts
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto cuesta cada tipo de bombón.
b)0,75 pts
Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.
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Ejercicio 2 · bloque 2

2bloque 2
1,5 puntos
Sección 1Bloque 2
La función f(x)=ax4+bx2+cf(x) = ax^4 + bx^2 + c tiene un mínimo en el punto (−1,0)(-1, 0) y corta al eje OYOY en el punto de ordenada y=1y = 1. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros aa, bb y cc.
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Ejercicio 3 · bloque 1

3bloque 1
1,5 puntos
Sección 2Bloque 1
El 70%70\% de los turistas que visitan una determinada ciudad se alojan en el centro, y el resto lo hace en las afueras. El 60%60\% de los que se alojan en el centro y el 40%40\% de los que se alojan en las afueras lo hacen en hoteles de 3 o más estrellas, mientras que el resto lo hace en establecimientos de menor calidad.
a)0,75 pts
Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se haya alojado en un hotel de 3 o más estrellas?
b)0,75 pts
Si se sabe que una persona se ha alojado en un establecimiento de menor calidad, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona se haya alojado en el centro?
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Ejercicio 3 · bloque 2

3bloque 2
1,5 puntos
Sección 2Bloque 2
En un programa de televisión hay tres secciones: magia, humor y noticias. La sección de humor dura cinco minutos más que la de magia. El tiempo ocupado por la magia y el humor es en total la cuarta parte del dedicado a noticias y la duración total de programa es de 1 hora y 55 minutos.
a)0,75 pts
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto tiempo se dedica a cada una de las tres secciones del programa.
b)0,75 pts
Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.
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Ejercicio 4 · bloque 1

4bloque 1
2 puntos
Sección 2Bloque 1
El número de pacientes que se atienden en un centro de salud a la semana sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=50\sigma = 50 pacientes. Se ha tomado una muestra aleatoria de 25 semanas y se ha registrado el número de pacientes atendidos, proporcionando una media de 322 pacientes.
z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
1.80.96410.96490.96560.96640.96710.96780.96860.96930.96990.9706
1.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97610.9767
a)1 pts
Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del número de pacientes atendidos con un nivel de confianza del 95%95\%.
b)0,5 pts
Explica razonadamente qué ocurrirá con la amplitud del intervalo si para el mismo nivel de confianza aumentamos el tamaño de muestra.
c)0,5 pts
¿Se puede aceptar la afirmación de que la media de pacientes atendidos a la semana es de 330 con un nivel de confianza del 99%99\%? Justificar la respuesta.
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Ejercicio 4 · bloque 2

4bloque 2
2 puntos
Sección 2Bloque 2
a)0,5 pts
Dadas dos matrices cuadradas AA y BB, razona si se obtendría el mismo resultado en la resolución de las ecuaciones A⋅X=BA \cdot X = B y B=X⋅AB = X \cdot A. ¿De qué propiedad estamos hablando?
b)0,5 pts
Si la dimensión de la matriz MM es 3×m3 \times m, la dimensión de la matriz NN es 2×52 \times 5 y PP es una matriz cuadrada de orden pp. ¿Qué valores han de tomar mm y pp para que se pueda realizar el producto M⋅N⋅PM \cdot N \cdot P? ¿Qué dimensión tendría la matriz resultante?
c)1 pts
Para las matrices C=(−4111−3)C = \begin{pmatrix} -4 & 11 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}, D=(50−12)D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} y E=(9−3−93)E = \begin{pmatrix} 9 & -3 \\ -9 & 3 \end{pmatrix} resuelve la ecuación X⋅C−D2=13ETX \cdot C - D^2 = \frac{1}{3} E^T.
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Ejercicio 5 · bloque 1

5bloque 1
1,5 puntos
Sección 3Bloque 1
El 40%40\% de las personas que acuden a una consulta médica lo hacen para diagnosticar una enfermedad, el 30%30\% para solicitar recetas y un 10%10\% para ambas cosas, diagnosticar enfermedad y solicitar recetas.
a)0,75 pts
Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acuda a solicitar recetas o a diagnosticar una enfermedad o ambos?
b)0,75 pts
Si se sabe que una persona ha acudido a diagnosticar una enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona también solicite recetas?
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Ejercicio 5 · bloque 2

5bloque 2
1,5 puntos
Sección 3Bloque 2
Se considera la función f(x)={(x+t+1)2si x<−11si x=−1−x2+(t+2)x+5si x>−1f(x) = \begin{cases} (x + t + 1)^2 & \text{si } x < -1 \\ 1 & \text{si } x = -1 \\ -x^2 + (t + 2)x + 5 & \text{si } x > -1 \end{cases}
a)0,5 pts
¿Para qué valor de tt la función f(x)f(x) es continua en x=−1x = -1?
b)0,5 pts
Para t=0t = 0, calcula los extremos relativos de la función f(x)f(x) en el intervalo (−1,∞)(-1, \infty).
c)0,5 pts
Para t=0t = 0, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x) en (−1,∞)(-1, \infty).
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Ejercicio 6 · bloque 1

6bloque 1
2 puntos
Sección 3Bloque 1
El número de libros que lee un estudiante de Bachillerato al año sigue una distribución normal de media desconocida y varianza σ2=6\sigma^2 = 6 libros2^2. Se ha tomado una muestra de 10 estudiantes de Bachillerato y el número de libros que han leído han sido 4, 8, 2, 9, 3, 7, 5, 6, 7 y 4 libros.
z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
2.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817
2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857
a)1 pts
Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de libros leídos con un nivel de confianza del 97%97\%.
b)0,5 pts
Explica razonadamente qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con mayor amplitud para el mismo nivel de confianza.
c)0,5 pts
¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 64 estudiantes y un nivel de confianza del 95,96%95{,}96\%?
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Ejercicio 6 · bloque 2

6bloque 2
2 puntos
Sección 3Bloque 2
El número de socios de una protectora de animales durante los cinco primeros años de su existencia viene dado por la siguiente función P(x)=x3−6x2+9x+4P(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 4 con x=an˜osx = \text{años} y 1≤x≤51 \le x \le 5.
a)0,5 pts
¿En qué intervalos aumenta el número de socios? ¿Y en cuáles disminuye?
b)0,75 pts
¿Cuándo hay mayor número de socios y cuántos son?
c)0,75 pts
¿En qué año son menos socios y cuántos hay?
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