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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2022Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2022

12 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo.

Ejercicio 1 · bloque 1

1bloque 1
1,5 puntos
Sección 1Bloque 1
Un fabricante comercializa 2 modelos de zapatillas para montaña, uno para mujer que le proporciona un beneficio de 28 euros por par y otro para hombre con un beneficio por cada par de 30 euros. El próximo mes tiene que fabricar entre 100 y 600 pares de zapatillas de hombre y un mínimo de 400 pares de mujer. Además solamente puede fabricar un máximo de 1200 pares de zapatillas.
a
Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.1,25 pts
b
Determina cuántos pares de zapatillas de cada modelo debe fabricar para que el beneficio sea máximo.0,25 pts
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Ejercicio 1 · bloque 2

1bloque 2
1,5 puntos
Sección 1Bloque 2
Se considera la función f(x)={2x−4si x≤c−(x−3)2+2si x>cf(x) = \begin{cases} 2x - 4 & \text{si } x \leq c \\ -(x - 3)^2 + 2 & \text{si } x > c \end{cases}
a
¿Para qué valor de cc la función f(x)f(x) es continua en x=cx = c?0,75 pts
b
Representa gráficamente la función f(x)f(x) para c=1c = 1.0,75 pts
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Ejercicio 2 · bloque 1

2bloque 1
1,5 puntos
Sección 1Bloque 1
La caja de bombones que compro cuesta 51 euros y contiene 12 bombones de chocolate negro, 6 de chocolate con leche y 6 de chocolate blanco. Cada bombón de chocolate negro cuesta un euro más que los de chocolate con leche y estos últimos cuestan 50 céntimos menos que los de chocolate blanco.
a
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto cuesta cada tipo de bombón.0,75 pts
b
Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.0,75 pts
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Ejercicio 2 · bloque 2

2bloque 2
1,5 puntos
Sección 1Bloque 2
La función f(x)=ax4+bx2+cf(x) = ax^4 + bx^2 + c tiene un mínimo en el punto (−1,0)(-1, 0) y corta al eje OYOY en el punto de ordenada y=1y = 1. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros aa, bb y cc.
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Ejercicio 3 · bloque 1

3bloque 1
1,5 puntos
Sección 2Bloque 1
El 70%70\% de los turistas que visitan una determinada ciudad se alojan en el centro, y el resto lo hace en las afueras. El 60%60\% de los que se alojan en el centro y el 40%40\% de los que se alojan en las afueras lo hacen en hoteles de 3 o más estrellas, mientras que el resto lo hace en establecimientos de menor calidad.
a
Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se haya alojado en un hotel de 3 o más estrellas?0,75 pts
b
Si se sabe que una persona se ha alojado en un establecimiento de menor calidad, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona se haya alojado en el centro?0,75 pts
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Ejercicio 3 · bloque 2

3bloque 2
1,5 puntos
Sección 2Bloque 2
En un programa de televisión hay tres secciones: magia, humor y noticias. La sección de humor dura cinco minutos más que la de magia. El tiempo ocupado por la magia y el humor es en total la cuarta parte del dedicado a noticias y la duración total de programa es de 1 hora y 55 minutos.
a
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto tiempo se dedica a cada una de las tres secciones del programa.0,75 pts
b
Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.0,75 pts
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Ejercicio 4 · bloque 1

4bloque 1
2 puntos
Sección 2Bloque 1
El número de pacientes que se atienden en un centro de salud a la semana sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=50\sigma = 50 pacientes. Se ha tomado una muestra aleatoria de 25 semanas y se ha registrado el número de pacientes atendidos, proporcionando una media de 322 pacientes.
z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
1.80.96410.96490.96560.96640.96710.96780.96860.96930.96990.9706
1.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97610.9767
a
Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del número de pacientes atendidos con un nivel de confianza del 95%95\%.1 pt
b
Explica razonadamente qué ocurrirá con la amplitud del intervalo si para el mismo nivel de confianza aumentamos el tamaño de muestra.0,5 pts
c
¿Se puede aceptar la afirmación de que la media de pacientes atendidos a la semana es de 330 con un nivel de confianza del 99%99\%? Justificar la respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 4 · bloque 2

4bloque 2
2 puntos
Sección 2Bloque 2
a
Dadas dos matrices cuadradas AA y BB, razona si se obtendría el mismo resultado en la resolución de las ecuaciones A⋅X=BA \cdot X = B y B=X⋅AB = X \cdot A. ¿De qué propiedad estamos hablando?0,5 pts
b
Si la dimensión de la matriz MM es 3×m3 \times m, la dimensión de la matriz NN es 2×52 \times 5 y PP es una matriz cuadrada de orden pp. ¿Qué valores han de tomar mm y pp para que se pueda realizar el producto M⋅N⋅PM \cdot N \cdot P? ¿Qué dimensión tendría la matriz resultante?0,5 pts
c
Para las matrices C=(−4111−3)C = \begin{pmatrix} -4 & 11 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}, D=(50−12)D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} y E=(9−3−93)E = \begin{pmatrix} 9 & -3 \\ -9 & 3 \end{pmatrix} resuelve la ecuación X⋅C−D2=13ETX \cdot C - D^2 = \frac{1}{3} E^T.1 pt
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Ejercicio 5 · bloque 1

5bloque 1
1,5 puntos
Sección 3Bloque 1
El 40%40\% de las personas que acuden a una consulta médica lo hacen para diagnosticar una enfermedad, el 30%30\% para solicitar recetas y un 10%10\% para ambas cosas, diagnosticar enfermedad y solicitar recetas.
a
Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acuda a solicitar recetas o a diagnosticar una enfermedad o ambos?0,75 pts
b
Si se sabe que una persona ha acudido a diagnosticar una enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona también solicite recetas?0,75 pts
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Ejercicio 5 · bloque 2

5bloque 2
1,5 puntos
Sección 3Bloque 2
Se considera la función f(x)={(x+t+1)2si x<−11si x=−1−x2+(t+2)x+5si x>−1f(x) = \begin{cases} (x + t + 1)^2 & \text{si } x < -1 \\ 1 & \text{si } x = -1 \\ -x^2 + (t + 2)x + 5 & \text{si } x > -1 \end{cases}
a
¿Para qué valor de tt la función f(x)f(x) es continua en x=−1x = -1?0,5 pts
b
Para t=0t = 0, calcula los extremos relativos de la función f(x)f(x) en el intervalo (−1,∞)(-1, \infty).0,5 pts
c
Para t=0t = 0, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x) en (−1,∞)(-1, \infty).0,5 pts
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Ejercicio 6 · bloque 1

6bloque 1
2 puntos
Sección 3Bloque 1
El número de libros que lee un estudiante de Bachillerato al año sigue una distribución normal de media desconocida y varianza σ2=6\sigma^2 = 6 libros2^2. Se ha tomado una muestra de 10 estudiantes de Bachillerato y el número de libros que han leído han sido 4, 8, 2, 9, 3, 7, 5, 6, 7 y 4 libros.
z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
2.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817
2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857
a
Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de libros leídos con un nivel de confianza del 97%97\%.1 pt
b
Explica razonadamente qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con mayor amplitud para el mismo nivel de confianza.0,5 pts
c
¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 64 estudiantes y un nivel de confianza del 95,96%95{,}96\%?0,5 pts
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Ejercicio 6 · bloque 2

6bloque 2
2 puntos
Sección 3Bloque 2
El número de socios de una protectora de animales durante los cinco primeros años de su existencia viene dado por la siguiente función P(x)=x3−6x2+9x+4P(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 4 con x=an˜osx = \text{años} y 1≤x≤51 \le x \le 5.
a
¿En qué intervalos aumenta el número de socios? ¿Y en cuáles disminuye?0,5 pts
b
¿Cuándo hay mayor número de socios y cuántos son?0,75 pts
c
¿En qué año son menos socios y cuántos hay?0,75 pts
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