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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2023

8 ejercicios

Instrucciones

Responda en el pliego del examen a cuatro preguntas cualesquiera de entre las ocho que se proponen. Todas las preguntas se calificarán con un máximo de 2,5 puntos. Indique en el pliego del examen la agrupación de preguntas que responderá: agrupaciones de preguntas que sumen más de 10 puntos conllevarán la anulación de la(s) última(s) pregunta(s) seleccionada(s) y/o respondida(s).

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dadas las matricesA=(111020111),B=(46−3−5)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & -5 \end{pmatrix}
a
Calcula todas las matrices X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} tales que A⋅X=2XA \cdot X = 2X.1,25 pts
b
Calcula todas las matrices MM que cumplen M(B+I)=2IM(B + I) = 2I (II es la matriz identidad 2×22 \times 2).1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se consideran las matrices A=(21−1102)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} y B=(111−101)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Calcula, en caso de que sea posible, las dimensiones de una matriz DD tal que se pueda realizar el producto A⋅D⋅BA \cdot D \cdot B.0,75 pts
b
Estudia si puede existir una matriz MM tal que M⋅A=BM \cdot A = B.0,5 pts
c
Estudia si existe (B⋅A)−1(B \cdot A)^{-1} y calcúlala en caso de que sea posible.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las funciones f(x)=−x2f(x) = -x^2 y g(x)=x2+x−1g(x) = x^2 + x - 1 se pide:
a
Calcula los puntos de corte de ambas curvas y dibuja el recinto limitado por ambas funciones.1,25 pts
b
Calcula el área de dicho recinto.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcula las coordenadas del punto PP interior al triángulo y situado sobre la altura, tal que la suma de las distancias de PP a los tres vértices sea mínima.
Triángulo isósceles en el plano cartesiano con vértices en (-3,0), (3,0) y (0,3), mostrando un punto P sobre el eje de ordenadas.
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Dada la recta r≡{x=2+λy=−1−λz=1r \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = 1 \end{cases} y el plano π≡ax+2y+(a−3)z=4\pi \equiv ax + 2y + (a - 3)z = 4,
a
Calcula aa para que rr y π\pi sean paralelos y en ese caso, calcula la distancia de rr a π\pi.1,25 pts
b
Para a=1a = 1, calcula el plano π′\pi' que contiene a rr y es perpendicular a π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Dados los puntos A=(1,0,0)A = (1, 0, 0) y B=(−1,4,−4)B = (-1, 4, -4).
a
Calcula el plano π\pi que hace que AA y BB sean simétricos.1,5 pts
b
Calcula la distancia de AA a π\pi.0,5 pts
c
Calcula una ecuación continua de la recta que pasa por AA y BB.0,5 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Una compañía tiene tres centrales en Europa en la que se fabrica el mismo producto. El 60%60\% de las unidades de dicho producto se fabrica en España, el 25%25\% en Francia y el resto en Portugal. Se observa que de las unidades fabricadas tienen algún defecto el 1%1\% de los fabricados en España, el 0,5%0{,}5\% de los fabricados en Francia y el 2%2\% de los fabricados en Portugal. El departamento de control de calidad central toma una de las unidades fabricadas al azar.
a
¿Cuál es la probabilidad de que la unidad seleccionada tenga algún defecto?1,25 pts
b
Si la unidad seleccionada es defectuosa ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en Portugal?1,25 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
En un examen de acceso a Médico Interno Residente se realiza un test y se supera la prueba si se obtiene al menos 7575 puntos. Suponiendo que las puntuaciones de los candidatos sigue una distribución normal de media 7070 y desviación típica 1010, calcule:
a
La probabilidad de que la calificación de una persona esté en el intervalo [75,85][75, 85].1,25 pts
b
Tras resolver las reclamaciones realizadas por los candidatos se observa que la desviación típica se mantiene pero la probabilidad de obtener más de 9090 puntos es 0,050{,}05. Decide si la media de calificaciones ha aumentado, ha disminuido o se ha mantenido.1,25 pts
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