Matemáticas II · Asturias 2023

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -3 & -5 \end{pmatrix}$$

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Dadas las funciones $f(x) = -x^2$ y $g(x) = x^2 + x - 1$ se pide:

Calcula las coordenadas del punto $P$ interior al triángulo y situado sobre la altura, tal que la suma de las distancias de $P$ a los tres vértices sea mínima.

Dada la recta $r \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = 1 \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv ax + 2y + (a - 3)z = 4$,

Dados los puntos $A = (1, 0, 0)$ y $B = (-1, 4, -4)$.

Una compañía tiene tres centrales en Europa en la que se fabrica el mismo producto. El $60\%$ de las unidades de dicho producto se fabrica en España, el $25\%$ en Francia y el resto en Portugal. Se observa que de las unidades fabricadas tienen algún defecto el $1\%$ de los fabricados en España, el $0{,}5\%$ de los fabricados en Francia y el $2\%$ de los fabricados en Portugal. El departamento de control de calidad central toma una de las unidades fabricadas al azar.

En un examen de acceso a Médico Interno Residente se realiza un test y se supera la prueba si se obtiene al menos $75$ puntos. Suponiendo que las puntuaciones de los candidatos sigue una distribución normal de media $70$ y desviación típica $10$, calcule: