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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla y LeónPAU 2021Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla y León 2021

9 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OPTATIVIDAD: CADA ESTUDIANTE DEBERÁ ESCOGER TRES PROBLEMAS Y UNA CUESTIÓN Y DESARROLLARLOS COMPLETOS. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN Cada problema se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. Cada cuestión se puntuará sobre un máximo de 1 punto. Salvo que se especifique lo contrario, los apartados que figuran en los distintos problemas son equipuntuables. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de los tres problemas y la cuestión realizados. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos efectuados.

Ejercicio 1 · Opción CUESTIONES

1Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones
Añadir una ecuación al sistema {x+y+z=2x−y−z=0\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - y - z = 0 \end{cases}, de forma que el sistema resultante sea incompatible.
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Ejercicio 1 · Opción PROBLEMAS

1Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas
En un almacén de frutas disponen de 800 kg de manzanas, 800 kg de naranjas y 500 kg de plátanos. Con estas existencias van a poner a la venta dos tipos de lotes de frutas, A y B. El lote A consta de 1 kg de manzanas, 2 kg de naranjas y 1 kg de plátanos; mientras que el lote B consta de 2 kg de manzanas, 1 kg de naranjas y 1 kg de plátanos. Si los lotes A se venden a 12 euros cada uno y los lotes B a 14 euros cada uno, determinar, mediante técnicas de programación lineal, el número de lotes de cada tipo que ha de vender el almacén para maximizar sus ingresos. ¿A cuánto asciende ese ingreso máximo?
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Ejercicio 2 · Opción CUESTIONES

2Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones
¿Cuál es el dominio de definición de la función f(x)=x+1x2−4f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}?
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Ejercicio 2 · Opción PROBLEMAS

2Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas
Dadas las matrices:A=(12−11) y B=(1−2)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
a
Calcular la matriz Y=A2+BBtY = A^2 + BB^t donde BtB^t es la matriz traspuesta de BB.1,5 pts
b
Determinar la matriz XX para que se verifique la ecuación 2AX=B2AX = B.1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción CUESTIONES

3Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones
Sabiendo que la probabilidad de que un hombre llegue a los 70 años es 0,780{,}78 y la probabilidad de que una mujer llegue a los 70 años es 0,830{,}83, calcular razonadamente la probabilidad de que ambos lleguen a los 70 años.
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Ejercicio 3 · Opción PROBLEMAS

3Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas
El número de zancadas por minuto que realiza un corredor en su entrenamiento diario de 60 minutos viene dado por la función:f(x)={70si 0≤x≤40110x2−11x+350si 40<x≤60f(x) = \begin{cases} 70 & \text{si } 0 \leq x \leq 40 \\ \frac{1}{10}x^2 - 11x + 350 & \text{si } 40 < x \leq 60 \end{cases}donde xx representa el tiempo de entrenamiento transcurrido, medido en minutos.
a
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y calcular el momento en el que alcanza el número de zancadas mínimo. ¿Cuál es el número de zancadas mínimo?2 pts
b
Representar gráficamente la función f(x)f(x), justificando brevemente la representación gráfica obtenida.1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Problemas
El beneficio neto anual BB (en miles de euros) que las ventas de un producto generan a una empresa en función del gasto anual en publicidad xx (en miles de euros) viene dado por la función B(x)=−20x2+1200x+aB(x) = -20x^2 + 1200x + a, donde x∈[0,∞)x \in [0, \infty).
a
Hallar el valor de aa sabiendo que un gasto en publicidad de 1000010000 euros proporciona un beneficio neto de 1010 millones de euros.1,5 pts
b
Para a=2000a = 2000, calcular el área delimitada por B(x)B(x) y el eje OXOX en el intervalo [0,1][0, 1].1,5 pts
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Problemas
Una empresa destinada a la comercialización de cápsulas de café realiza un estudio de mercado entre un grupo de personas donde el 60%60\% son hombres y el 40%40\% restante son mujeres. La empresa comprueba que el 55%55\% de los hombres prefieren cápsulas de café capuchino, porcentaje que se eleva al 80%80\% en el caso de las mujeres.
a
Calcular la probabilidad de elegir una persona de ese grupo que resulte ser hombre y que prefiera cápsulas de café capuchino.1,5 pts
b
¿Con qué probabilidad una persona elegida al azar de ese grupo prefiere cápsulas de café capuchino?1,5 pts
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Ejercicio 6

6
3 puntos
Problemas
El tiempo que tarda un auditor en revisar un expediente se ajusta a una distribución normal con media 3030 minutos y desviación típica de 1010 minutos. Si al principio de una semana se le entregan 7575 expedientes:
a
Calcular la probabilidad de que le dé tiempo a revisar los 7575 expedientes si en esa semana el auditor trabaja 3535 horas (21002100 minutos).1,5 pts
b
Calcular la probabilidad de que el tiempo medio dedicado a revisar los 7575 expedientes esté entre 2828 y 3333 minutos.1,5 pts
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