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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2021

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. Cada pregunta vale 2 puntos en total y puede contener distintos apartados, cuyas puntuaciones se indican. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar)

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la siguiente funciónf(x)={5−ax2si x≤16axsi x>1,a∈R,a≠0 f(x) = \begin{cases} 5 - ax^2 & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{6}{ax} & \text{si } x > 1 \end{cases}, \qquad a \in \mathbb{R}, a \neq 0
a
Calcule los valores de a∈Ra \in \mathbb{R} para que la función f(x)f(x) sea continua.1 pt
b
Determine justificadamente para qué valor de los anteriores se verifica que el área encerrada por la función f(x)f(x), el eje OXOX y las rectas x=0x = 0 y x=ax = a sea 6 u26\,\text{u}^2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Calcule el siguiente límite:lim⁡x→1(sen⁡(π2x))1(1−x)2. \lim_{x \to 1} \left(\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{2} x\right)\right)^{\frac{1}{(1 - x)^2}}.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se desea construir un depósito con forma de prisma regular de base cuadrada. Además, el depósito es abierto (sin tapa superior). La capacidad total debe ser de 64 m364\,\text{m}^3. El material de construcción de los laterales tiene un precio de 7070 euros por m2\text{m}^2, mientras que el de la base, más resistente, es de 140140 euros por m2\text{m}^2. Halle las dimensiones del depósito para que tenga el menor coste posible.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Para la siguiente funciónf(x)=exx3−x f(x) = \frac{e^x}{x^3 - x}
a
Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Calcúlelas cuando existan.1,25 pts
b
Calcule la recta tangente a la curva en el punto x=2x = 2.0,75 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dada la siguiente matriz:P=(0111−k−2k1−k0) P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -k & -2k \\ 1 & -k & 0 \end{pmatrix}
a
Estudie el rango de la matriz A=P+IA = P + I, donde II es la matriz identidad de orden 3, según los valores de k∈Rk \in \mathbb{R}.1 pt
b
Para k=1k = 1, calcule la inversa de la matriz AA del apartado anterior.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Dadas las siguientes matrices:B=(3−11111−11−1),C1=(113−110),C2=(−120321) B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad C_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C_2 = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
a
Compruebe que la matriz BB tiene inversa y calcúlela.1 pt
b
Calcule la matriz XX que verifica la siguiente ecuación matricial: I+BX=C1C2I + BX = C_1 C_2, donde II es la matriz identidad de orden 3.1 pt
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Dado el siguiente sistema:{3x−y+2z=1x+4y+z=32x−5y+az=−2 \begin{cases} 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + z = 3 \\ 2x - 5y + az = -2 \end{cases}
a
Discuta según los valores de a∈Ra \in \mathbb{R} qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones.1 pt
b
Resuelva el sistema para a=0a = 0.1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,−2,0)(1, -2, 0) y es perpendicular al plano determinado por los puntos (1,0,1)(1, 0, 1), (3,1,0)(3, 1, 0) y (2,−1,1)(2, -1, 1). Exprésela como intersección de dos planos.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
En un departamento de calidad se analiza el funcionamiento del software del motor de vehículos eléctricos e híbridos. Se revisaron 85 coches eléctricos y 145 coches híbridos. En total, 43 coches tenían errores en el software de sus motores. Además, de los motores con software defectuoso, 12 correspondían a coches eléctricos.
a
Calcule la probabilidad de que un coche revisado seleccionado al azar, sea híbrido y presente el software de su motor correcto.0,8 pts
b
Calcule la probabilidad de que un coche híbrido seleccionado al azar tenga defectuoso el software del motor.1,2 pts
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Uno de cada 7 deportistas de la selección española de gimnasia deportiva, será elegido para las próximas olimpiadas. Se escogen aleatoriamente y de modo independiente 9 deportistas de dicha selección española.
a
¿Cuál es la probabilidad de que sean elegidos exactamente 2 de estos 9 deportistas para las próximas olimpiadas?0,8 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que alguno (al menos 1) de estos 9 deportistas sea elegido para las próximas olimpiadas?1,2 pts
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