Matemáticas II · Aragón 2021

Dada la siguiente función $$f(x) = \begin{cases} 5 - ax^2 & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{6}{ax} & \text{si } x > 1 \end{cases}, \qquad a \in \mathbb{R}, a \neq 0$$

Calcule el siguiente límite: $$\lim_{x \to 1} \left(\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{2} x\right)\right)^{\frac{1}{(1 - x)^2}}.$$

Se desea construir un depósito con forma de prisma regular de base cuadrada. Además, el depósito es abierto (sin tapa superior). La capacidad total debe ser de $64\,\text{m}^3$. El material de construcción de los laterales tiene un precio de $70$ euros por $\text{m}^2$, mientras que el de la base, más resistente, es de $140$ euros por $\text{m}^2$. Halle las dimensiones del depósito para que tenga el menor coste posible.

Para la siguiente función $$f(x) = \frac{e^x}{x^3 - x}$$

Dada la siguiente matriz: $$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -k & -2k \\ 1 & -k & 0 \end{pmatrix}$$

Dadas las siguientes matrices: $$B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad C_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C_2 = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Dado el siguiente sistema: $$\begin{cases} 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + z = 3 \\ 2x - 5y + az = -2 \end{cases}$$

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1, -2, 0)$ y es perpendicular al plano determinado por los puntos $(1, 0, 1)$, $(3, 1, 0)$ y $(2, -1, 1)$. Exprésela como intersección de dos planos.

En un departamento de calidad se analiza el funcionamiento del software del motor de vehículos eléctricos e híbridos. Se revisaron 85 coches eléctricos y 145 coches híbridos. En total, 43 coches tenían errores en el software de sus motores. Además, de los motores con software defectuoso, 12 correspondían a coches eléctricos.

Uno de cada 7 deportistas de la selección española de gimnasia deportiva, será elegido para las próximas olimpiadas. Se escogen aleatoriamente y de modo independiente 9 deportistas de dicha selección española.