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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSPaís VascoPAU 2016Ordinaria

Matemáticas CCSS · País Vasco 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. Está permitido el uso de calculadoras científicas que no sean programables. La tabla de la distribución normal está en el anverso de esta hoja.
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Ejercicio 1

1
3 puntos
A la compañía de transportes que lleva a la escuela municipal los 160 jóvenes de su alumnado, un servicio de un autobús de 40 plazas le supone un gasto de 120€ y uno de un microbús de 20 plazas sólo 80€. Se debe decidir el número de autobuses XX y microbuses YY que transporten a todo el alumnado, minimizando el gasto y cumpliendo ciertas limitaciones: la compañía sólo cuenta con 5 conductores de autobús (aptos para conducir microbuses) y otros 7 conductores de microbús (no aptos para conducir autobuses). Además las autoridades de tráfico obligan a que circulen al menos el doble de microbuses que de autobuses. Se pide:
a
Representar en el plano XYXY la región de soluciones factibles del problema.1,5 pts
b
Encontrar el número óptimo de autobuses XX y microbuses YY que minimizan el gasto de la empresa y cumplen con las restricciones. Calcular dicho gasto.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dos curvas representadas por las funciones f(x)=Ax+9f(x) = \frac{A}{x + 9} y g(x)=Bxx2+6x+αg(x) = \frac{Bx}{x^2 + 6x + \alpha} dependen de los parámetros desconocidos AA, BB y α\alpha. Responder:
a
¿Qué valores de AA y BB hacen que las curvas f(x)f(x) y g(x)g(x) pasen por el punto (1,1/2)(1, 1/2) y tomen valores iguales en el punto x=5x=5, es decir, f(5)=g(5)f(5)=g(5)?1 pt
b
Calcula los máximos y mínimos de f(x)f(x) y g(x)g(x).1 pt
c
Indica los dominios de definición de f(x)f(x) y g(x)g(x).1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
En mi ciudad llueve uno de cada tres días. Cuando llueve se producen atascos y la probabilidad de llegar tarde al trabajo es de 2/32/3. En cambio, cuando no llueve la probabilidad de llegar tarde al trabajo es de 1/81/8. Responder:
a
¿Cuál es la probabilidad de llegar tarde al trabajo?0,66 pts
b
Hoy he llegado tarde al trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que haya llovido?0,66 pts
c
Sabiendo que ayer llovió y hoy no lo ha hecho, ¿cuál es la probabilidad de que haya llegado al trabajo uno de los dos días tarde y el otro puntual?0,66 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
En unas pruebas clasificatorias de salto de longitud para una olimpiada la media de los primeros 400 intentos es de 7,75 m7{,}75\,\text{m}. Se sabe que los saltos se comportan como una variable aleatoria que sigue una distribución normal con varianza σ2=0,36 m2\sigma^2 = 0{,}36\,\text{m}^2.
a
Construye un intervalo, de un 95%95\% de confianza, para la media μ\mu de los saltos de la población.1 pt
b
¿Cuál sería el mínimo tamaño muestral necesario para que pueda decirse que la verdadera media de los saltos está a menos de 4 cm4\,\text{cm} de la media muestral, con un nivel de confianza del 90%90\%?1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Considérense las siguientes matrices y los parámetros desconocidos uu y vv:A=(2−1−33),B=(02−12),C=(−20−14),D=(2uv−2) A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & u \\ v & -2 \end{pmatrix}
a
Determinar los valores de los parámetros α\alpha, β\beta, uu y vv para que se cumpla la siguiente igualdad matricial, siendo BTB^T la matriz traspuesta de BB:A(α00β)BT+C(0αβ0)=D A \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} B^T + C \begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ \beta & 0 \end{pmatrix} = D 1,5 pts
b
Siendo A−1A^{-1} la matriz inversa de AA, encontrar los valores de las constantes aa y bb que verifiquen:A−1(ab)=B(ab)+(12) A^{-1} \binom{a}{b} = B \binom{a}{b} + \binom{1}{2} 1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Para financiar el viaje de fin de curso un instituto propone la venta de camisetas. Se ha hecho un estudio previo y se sabe que el número de camisetas NCNC que se vendan dependerá del precio xx (en €) según la función NC(x)=180−10xNC(x) = 180 - 10x, 0≤x≤180 \leq x \leq 18.
a
¿Cuántas camisetas se venderían a 10€10\text{€}? Interpreta el aumento o disminución del número de camisetas vendidas por cada euro que aumente o disminuya el precio.1 pt
b
Obtén la función que expresa los ingresos por la venta. ¿Para qué precio los ingresos son máximos? ¿Cuántas camisetas se venderían en este caso?1 pt
c
El almacén que suministra camisetas nos cobra en total C(z)=4z+50C(z) = 4z + 50 euros por un pedido de zz camisetas. Obtén el coste total pagado al almacén por las camisetas vendidas en función del precio de venta xx. Obtén la función de beneficio (en función de xx) y el precio xx para conseguir el máximo beneficio.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
En un bingo han sustituido el clásico dado en forma de cubo por uno nuevo en forma de dodecaedro. En las 12 caras del dado se alternan los números 1, 2, 3, 4 y el 5. El 1 aparece en una cara, el 2 en una cara, el 3 en dos caras, el 4 en tres caras y el 5 en cinco caras. Si el dado está equilibrado, es decir, la probabilidad de que al lanzarlo salga cualquier cara es la misma, calcula:
a
Si se lanza dos veces el dado, ¿cuál es la probabilidad de que salgan dos números impares?1 pt
b
Si se lanza tres veces el dado, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números aparecidos sea 6?1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
La estación meteorológica de una ciudad indica que la temperatura máxima de los días de agosto sigue una distribución normal de media 28∘C28^{\circ}\text{C} y desviación típica 4∘C4^{\circ}\text{C}. Se pide:
a
La probabilidad de que un día de agosto la temperatura máxima sea mayor que 32∘C32^{\circ}\text{C}.0,5 pts
b
En el mes de agosto de un año concreto, ¿cuál es el número de días en que se espera una temperatura máxima inferior a 25∘C25^{\circ}\text{C}?0,5 pts
c
La probabilidad de que un día de agosto la temperatura máxima esté entre 28∘C28^{\circ}\text{C} y 32∘C32^{\circ}\text{C}.0,5 pts
d
¿Cuál es, con una probabilidad del 95%95\%, el valor que no será superado por la temperatura máxima de un día de agosto?0,5 pts
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