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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2021

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INSTRUCCIONES PARA REALIZAR EL EXAMEN. El examen consta de 10 preguntas, cuyo valor es de 2 puntos cada una. El estudiante ha de elegir 5 preguntas. En ningún caso deberá responder a un número mayor del indicado porque en la corrección del examen sólo se tendrán en cuenta las cinco primeras preguntas respondidas. Se seguirá el orden en el que las respuestas aparezcan desarrolladas por el estudiante. Si se desea que alguna de ellas no sea tenida en cuenta, el estudiante ha de tacharla y dejarlo claramente indicado. En ese caso, además de las cuatro primeras preguntas sin tachar, se corregiría la que ocupe el siguiente lugar. Justificar las respuestas y las soluciones

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sea la igualdad matricial M⋅X=NM \cdot X = N, donde M=(k2k2−1k1−111)M = \begin{pmatrix} k & 2k & 2 \\ -1 & k & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} y N=(110111)N = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
a
¿Cuántas filas y columnas debe tener la matriz XX? (Justificar la respuesta).0,5 pts
b
¿Para qué valores de k∈Rk \in \mathbb{R} es la matriz MM invertible?1 pt
c
¿Puede ser M⋅NM \cdot N invertible para algún valor de k∈Rk \in \mathbb{R}?0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Discutir y resolver (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}:ax+y=1x+ay=aax+2y=1}\left. \begin{array}{r c c c} ax & + & y & = 1 \\ x & + & ay & = a \\ ax & + & 2y & = 1 \end{array} \right\}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sean las rectas rr y ss dadas por r:{x=1+λy=2−3λz=1,s:{x+y+z=2x−y−z=4r : \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 3 \lambda \\ z = 1 \end{cases} , \quad\allowbreak s : \begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - y - z = 4 \end{cases}
a
Obtener un plano Π\Pi que contiene a la recta rr y es paralelo a la recta ss.1 pt
b
Calcular la distancia entre las dos rectas.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcular un vector de módulo 3 que sea perpendicular a los vectores u⃗=(1,1,−1)\vec{u} = (1, 1, -1) y v⃗=(2,1,0)\vec{v} = (2, 1, 0).
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Ejercicio 5

5
2 puntos
a
Estudiar la continuidad de la siguiente función f(x)f(x) para x≠0x \neq 0 (con a∈Ra \in \mathbb{R}):f(x)={ex−1−xx2si x≠0asi x=0f(x) = \begin{cases} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}0,5 pts
b
Calcular el valor de aa para que la función f(x)f(x) sea continua en x=0x = 0.1,5 pts
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Sea la función f(x)=2−x2x2−4f(x) = \frac{2 - x^2}{x^2 - 4}.
a
Estudiar las asíntotas, monotonía y puntos extremos de la función f(x)f(x).1,5 pts
b
Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de f(x)f(x).0,5 pts
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Resolver la integral ∫ln⁡2(x) dx\int \ln^2(x) \, dx.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Dadas las funciones f(x)=3x−x2f(x) = 3x - x^2 y g(x)=x2−2xg(x) = x^2 - 2x, calcular el área de la región limitada por sus gráficas.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
En un estudio a 1000 estudiantes europeos, 500 saben hablar inglés, 300 saben hablar español, y 100 de ellos hablan los dos idiomas. Se elige un estudiante al azar del estudio:
a
Calcular la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas.1 pt
b
Calcular la probabilidad de que hable español, sabiendo que habla inglés.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
La duración de un Smartphone se ajusta a una normal de media 3 años y desviación típica de 1 año. El fabricante da una garantía de 3,5 años a sus Smartphone.
a
Calcular la probabilidad de que un Smartphone dure menos que la garantía.1 pt
b
Calcular la probabilidad de que un Smartphone dure más de 5 años.1 pt
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