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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Seanu⃗=(1,a,a),v⃗=(0,0,1),w⃗=(1,1,a)\vec{u} = (1, a, a), \quad \vec{v} = (0, 0, 1), \quad \vec{w} = (1, 1, a)
i
Halla los valores de aa para los cuales los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} son ortogonales.
ii
Determina los valores de aa para los cuales el vector w⃗\vec{w} está en el plano que contiene a O(0,0,0)O(0, 0, 0) y tiene por vectores directores a u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sean gg y hh las funciones tales que g(0)=1g(0) = 1 yg′(x)=cos⁡(x2),h(x)=(g(x))2,−∞<x<∞g'(x) = \cos(x^2), \quad h(x) = (g(x))^2, \quad -\infty < x < \infty
1
Halla el valor de h′(0)h'(0).
2
Calcula ∫xcos⁡(x2) dx\int x \cos(x^2) \, dx.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea f(x)=(x−2)2x−1f(x) = \frac{(x - 2)^2}{x - 1}
i
Determina el dominio de ff.
ii
Halla sus asíntotas.
iii
Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de ff.
iv
Dibuja la gráfica de ff destacando los elementos hallados anteriormente.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Consideremos el planoπα:x−y+αz=0,\pi_{\alpha}: x - y + \alpha z = 0,y la rectar:{x=3+2ty=1−tz=1+3tt∈Rr: \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 3t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}
i
Estudia, según los valores de α\alpha, la posición relativa del plano πα\pi_{\alpha} y la recta rr.
ii
Cuando πα\pi_{\alpha} y rr se corten en un punto, halla las coordenadas de dicho punto.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Seanu⃗=(1,a,a),v⃗=(0,0,1),w⃗=(1,1,a)\vec{u} = (1, a, a), \quad \vec{v} = (0, 0, 1), \quad \vec{w} = (1, 1, a)
i
Halla los valores de aa para los cuales los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} son ortogonales.
ii
Determina los valores de aa para los cuales el vector w⃗\vec{w} está en el plano que contiene a O(0,0,0)O(0, 0, 0) y tiene por vectores directores a u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sean gg y hh las funciones tales que g(0)=1g(0) = 1 yg′(x)=cos⁡(x2),h(x)=(g(x))2,−∞<x<∞g'(x) = \cos(x^2), \quad h(x) = (g(x))^2, \quad -\infty < x < \infty
1
Halla el valor de h′(0)h'(0).
2
Calcula ∫xcos⁡(x2) dx\int x \cos(x^2) \, dx.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sean AA una constante positiva y p(x)p(x) un polinomio de tercer grado tal que su derivada esp′(x)=Ax(x−1),−∞<x<∞p'(x) = Ax(x - 1), \quad -\infty < x < \infty
i
Determina la abscisa de los extremos relativos y estudia la monotonía de pp.
ii
Enuncia el teorema de Rolle.
iii
Justifica que existe b>1b > 1 tal que p(b)=p(0)p(b) = p(0).
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según el valor de α\alpha, y resuélvelo cuando tenga solución única:{αx+y=α(α+1)x+y+z=α+3y+z=2\begin{cases} \alpha x + y = \alpha \\ (\alpha + 1)x + y + z = \alpha + 3 \\ y + z = 2 \end{cases}
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