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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2014

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Sean u⃗=(1,a,a),v⃗=(0,0,1),w⃗=(1,1,a)\vec{u} = (1, a, a), \quad \vec{v} = (0, 0, 1), \quad \vec{w} = (1, 1, a)
i)
Halla los valores de aa para los cuales los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} son ortogonales.
ii)
Determina los valores de aa para los cuales el vector w⃗\vec{w} está en el plano que contiene a O(0,0,0)O(0, 0, 0) y tiene por vectores directores a u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Sean u⃗=(1,a,a),v⃗=(0,0,1),w⃗=(1,1,a)\vec{u} = (1, a, a), \quad \vec{v} = (0, 0, 1), \quad \vec{w} = (1, 1, a)
i)
Halla los valores de aa para los cuales los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} son ortogonales.
ii)
Determina los valores de aa para los cuales el vector w⃗\vec{w} está en el plano que contiene a O(0,0,0)O(0, 0, 0) y tiene por vectores directores a u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Sean gg y hh las funciones tales que g(0)=1g(0) = 1 y g′(x)=cos⁡(x2),h(x)=(g(x))2,−∞<x<∞g'(x) = \cos(x^2), \quad h(x) = (g(x))^2, \quad -\infty < x < \infty
1)
Halla el valor de h′(0)h'(0).
2)
Calcula ∫xcos⁡(x2) dx\int x \cos(x^2) \, dx.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Sean gg y hh las funciones tales que g(0)=1g(0) = 1 y g′(x)=cos⁡(x2),h(x)=(g(x))2,−∞<x<∞g'(x) = \cos(x^2), \quad h(x) = (g(x))^2, \quad -\infty < x < \infty
1)
Halla el valor de h′(0)h'(0).
2)
Calcula ∫xcos⁡(x2) dx\int x \cos(x^2) \, dx.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
Sea f(x)=(x−2)2x−1f(x) = \frac{(x - 2)^2}{x - 1}
i)
Determina el dominio de ff.
ii)
Halla sus asíntotas.
iii)
Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de ff.
iv)
Dibuja la gráfica de ff destacando los elementos hallados anteriormente.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3 puntos
Sean AA una constante positiva y p(x)p(x) un polinomio de tercer grado tal que su derivada es p′(x)=Ax(x−1),−∞<x<∞p'(x) = Ax(x - 1), \quad -\infty < x < \infty
i)
Determina la abscisa de los extremos relativos y estudia la monotonía de pp.
ii)
Enuncia el teorema de Rolle.
iii)
Justifica que existe b>1b > 1 tal que p(b)=p(0)p(b) = p(0).
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
3 puntos
Consideremos el plano πα:x−y+αz=0,\pi_{\alpha}: x - y + \alpha z = 0, y la recta r:{x=3+2ty=1−tz=1+3tt∈Rr: \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 3t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}
i)
Estudia, según los valores de α\alpha, la posición relativa del plano πα\pi_{\alpha} y la recta rr.
ii)
Cuando πα\pi_{\alpha} y rr se corten en un punto, halla las coordenadas de dicho punto.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
3 puntos
Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según el valor de α\alpha, y resuélvelo cuando tenga solución única: {αx+y=α(α+1)x+y+z=α+3y+z=2\begin{cases} \alpha x + y = \alpha \\ (\alpha + 1)x + y + z = \alpha + 3 \\ y + z = 2 \end{cases}
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