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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2026OrdinariaVariante Serie 1

Matemáticas II · Cataluña 2026

4 ejercicios

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a todas las cuestiones de los ejercicios 1, 2 y 3. En el ejercicio 4, elige una de las dos opciones (A o B).
Puntuación
Cada ejercicio vale 2,5 puntos.
Material
Calculadora que no pueda almacenar datos ni transmitir o recibir información.
Además
Explica siempre qué quieres hacer y por qué. Redacta con coherencia, corrección y claridad, empleando la notación y el vocabulario matemático adecuados y expresando la solución de forma clara.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la siguiente función definida a trozos:f(x)={5e2xx≤0(x+m)2+10<x<212≤x,f(x) = \begin{cases} 5e^{2x} & x \leq 0 \\ (x + m)^2 + 1 & 0 < x < 2 \\ 1 & 2 \leq x \end{cases},donde mm es un parámetro real.
1.1
Determine los valores de mm que hacen que la función f(x)f(x) sea continua en todo su dominio. Justifique la respuesta.1 pt
1.2
Haga un esbozo de la gráfica de y=f(x)y = f(x) para el caso m=−2m = -2, y calcule el área delimitada por esta gráfica, el eje OXOX y las rectas x=−1x = -1 y x=3x = 3.1 pt
1.3
Para m=−2m = -2, encuentre un punto donde la recta tangente a y=f(x)y = f(x) sea paralela a y=−2xy = -2x. Calcule la ecuación de esta recta tangente.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales, el cual está formado por tres planos en el espacio y depende del parámetro real mm:x+my+z=4x+3y+z=5mx+y+z=4}.\left.\begin{aligned} x + my + z &= 4 \\ x + 3y + z &= 5 \\ mx + y + z &= 4 \end{aligned}\right\}.
2.1
Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro mm.1 pt
2.2
Interprete geométricamente este sistema para todos los valores del parámetro mm y resuélvalo, si es posible, para el caso m=1m = 1.1 pt
2.3
Para m=1m = 1, ¿es posible añadir una cuarta ecuación de manera que el sistema resultante sea compatible determinado y tenga como solución (x,y,z)=(3,12,12)(x, y, z) = \left(3, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)? Razone la respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
El Ayuntamiento de Canet de Mar ha conseguido 24 entradas gratuitas para un concierto de un grupo de rock catalán, y ha decidido sortearlas entre los vecinos interesados en asistir. Todos los vecinos del pueblo seguidores de este grupo se apuntan al sorteo, y solo al 16 %16\,\% de ellos les toca una entrada. Del resto de seguidores del grupo, seis séptimas partes intentan comprar una entrada a través de la web, donde la probabilidad de conseguirla es del 25 %25\,\%.
3.1
¿Cuántas personas de este municipio tienen entrada para el concierto?0,75 pts
3.2
Si se escoge al azar un vecino de Canet seguidor de este grupo de rock y no tiene entrada para el concierto, ¿cuál es la probabilidad de que haya intentado conseguirla vía web?0,75 pts
3.3
El día del concierto, el equipo de sonido mide el nivel de decibelios generado por los gritos entusiastas del público a lo largo de los 5 minutos de duración de la canción más famosa del grupo; se puede aproximar por la siguiente función:S(t)=−t3+12t2−30t+90,S(t) = -t^3 + 12t^2 - 30t + 90,t∈[0,5],t \in [0, 5],donde tt es el tiempo en minutos y S(t)S(t) los decibelios. Cuando se superan los 100 decibelios se considera que el público está muy entregado y se activan automáticamente unos efectos lumínicos especiales. ¿Se activarán en algún momento durante estos cinco minutos? Si la respuesta es afirmativa, calcule en qué minuto se activan, aproximado a las décimas.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean.

El alcalde de un pueblo de Catalunya encarga al arquitecto municipal el diseño de un parque infantil que se construirá en un terreno público. Para cumplir con la normativa vigente, en el parque tiene que haber dos espacios bien delimitados: uno para una boca de riego —el cual, según el arquitecto, debe tener forma circular—, y otro para una caseta donde guardar las herramientas de mantenimiento —el cual debe tener forma cuadrada—. Por motivos estéticos, el arquitecto quiere delimitar cada uno de estos dos espacios con una barandilla de forja. Sabiendo que las dos barandillas miden exactamente 10 m10\,\text{m} de longitud en total, ¿qué medida debe tener la barandilla de cada espacio para que la suma de las superficies de los dos espacios sea lo más pequeña posible? ¿Cuál es esta superficie mínima?
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Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean.

Considere los puntos del espacio P=(1,0,−1)P = (1, 0, -1), Q=(3,−2,0)Q = (3, -2, 0) y R=(1,1,1)R = (1, 1, 1).
4.1
Calcule la ecuación del plano que contiene los puntos PP, QQ y RR.0,75 pts
4.2
Compruebe que el área del triángulo ΔPQR\Delta PQR es 352 u2\frac{3\sqrt{5}}{2}\,\text{u}^2.0,75 pts
4.3
Determine las condiciones que deben cumplir las coordenadas de un cuarto punto S=(x,y,z)S = (x, y, z) para que PP, QQ, RR y SS formen un tetraedro de volumen 1. (El volumen del tetraedro formado por los puntos PP, QQ, RR y SS es: volumen⁡(PQRS)=aˊrea(ΔPQR)⋅altura3\operatorname{volumen}(PQRS) = \frac{\text{área}(\Delta PQR) \cdot \text{altura}}{3}).1 pt
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