Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2014

Dadas las matrices: $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Considera el siguiente problema de programación lineal: Minimiza la función $z = -2x - 3y$ sujeta a las siguientes restricciones: $$\begin{cases} -x + 3y \leq 5 \\ 2x + y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$

Una empresa de seguros tiene tres sucursales, una en Toledo, otra en Albacete y la tercera en Cuenca. En total entre las tres sucursales vendieron 45 pólizas de seguro del hogar en el último mes. El número de pólizas vendidas en la sucursal de Cuenca es la media aritmética de las vendidas en Toledo y Albacete. Y el número de pólizas vendidas en Toledo es el doble de la cantidad que resulta al restar las vendidas en Albacete menos las vendidas en Cuenca.

Una empresa gasta un total de 1250 euros para que sus 10 empleados realicen un curso de formación. Establece tres cuantías según los niveles de formación: grado 1, grado 2 y grado 3. La empresa concede 80 euros a cada empleado que realice el de grado 1, 150 euros a cada empleado del grado 2 y 200 euros a cada empleado del grado 3. La cantidad total que la empresa gasta en el curso de formación de grado 1 es igual a la que invierte en el curso de formación de grado 3.

Se considera la función $f(x) = \begin{cases} |x - t| & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 - 2x & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Se considera la función $f(x) = \begin{cases} |x| - t & \text{si } x \leq 2 \\ x^2 - 6x + 8 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Calcula los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para que la función $f(x) = ax^4 + bx^2 + c$ pase por el punto $(0, 0)$, tenga un mínimo relativo en el punto de abscisa $x=1$ y el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en $x=2$ sea igual a 24.

En una ciudad, el registro durante cinco horas de la humedad relativa del aire, medida en $\%$, se ajusta a la función $f(t) = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 75$, $0 < t < 5$, siendo $t$ el tiempo medido en horas.

En una población, el $40\%$ de los habitantes ven habitualmente la televisión, el $10\%$ leen habitualmente y el $1\%$ ven la televisión y leen habitualmente.

En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar productos. El $15\%$ de los productos son soldados por el robot A, el $20\%$ por el B y el $65\%$ por el C. Se sabe que la probabilidad de que un producto tenga un defecto de soldadura es de $0{,}02$ si ha sido soldado por el robot A, $0{,}03$ por el robot B y $0{,}01$ por el robot C.

Una empresa produce dispositivos electrónicos con pantalla HD, la resolución de estas pantallas sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 20$ píxeles. Se tomó una muestra aleatoria de 100 dispositivos electrónicos y mediante un estudio estadístico se obtuvo el intervalo de confianza $(1076{,}08, 1083{,}92)$ para la resolución media de las pantallas elegidas al azar.

En un aeropuerto, el tiempo de espera de un viajero frente a la cinta transportadora hasta que sale su maleta sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 3$ minutos. Se tomó una muestra aleatoria de 50 viajeros, y se observó que el tiempo medio de espera era de 17 minutos.