Matemáticas II · Cataluña 2014

Estudie el paralelismo y la perpendicularidad entre las rectas $r$ y $s$.

Halle la ecuación general (es decir, que tiene la forma $Ax + By + Cz = D$) del plano $\pi$ que contiene la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$. Calcule la distancia entre la recta $s$ y el plano $\pi$ obtenido.

Determine el dominio y el recorrido de la función $g$.

Calcule para qué valores de $a$ y de $b$ las gráficas de las dos funciones son tangentes (es decir, tienen la misma recta tangente) en el punto de abscisa $x = 0$.

Discuta el sistema de ecuaciones para los diferentes valores del parámetro $m$.

Resuelva el sistema en aquellos casos en que el sistema sea compatible.

Calcule los valores de $x$ en que la función $f$ tiene un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de inflexión, e indique en cada caso de qué se trata.

Determine la función $f$ sabiendo que se anula en el punto de abscisa $x = 2$.

Calcule los valores del parámetro $a$ para que los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean linealmente dependientes.

Calcule los valores del parámetro $a$ para que un tetraedro de aristas $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ tenga un volumen de $2/3$ unidades cúbicas.

¿Para qué valores del parámetro $a$ la ecuación matricial tiene una solución única?

Halle la matriz $X$ que satisface la ecuación matricial cuando $a = 3$.