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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2014

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sean rr y ss las rectas de R3\mathbb{R}^3 que tienen las ecuaciones siguientes:r:x+5=y−5=z−32ys:x−32=y−23=z+1−1r: x + 5 = y - 5 = \frac{z - 3}{2} \quad \text{y} \quad s: \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{-1}
a
Estudie el paralelismo y la perpendicularidad entre las rectas rr y ss.1 pt
b
Halle la ecuación general (es decir, que tiene la forma Ax+By+Cz=DAx + By + Cz = D) del plano π\pi que contiene la recta rr y es paralelo a la recta ss. Calcule la distancia entre la recta ss y el plano π\pi obtenido.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sean las funciones f(x)=eax+b4f(x) = \frac{e^{ax} + b}{4} y g(x)=3x+4g(x) = \sqrt{3x + 4}.
a
Determine el dominio y el recorrido de la función gg.1 pt
b
Calcule para qué valores de aa y de bb las gráficas de las dos funciones son tangentes (es decir, tienen la misma recta tangente) en el punto de abscisa x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales para m∈Rm \in \mathbb{R}:{mx−y=m3x+(m−4)y=m+2\begin{cases} mx - y = m \\ 3x + (m - 4)y = m + 2 \end{cases}
a
Discuta el sistema de ecuaciones para los diferentes valores del parámetro mm.1 pt
b
Resuelva el sistema en aquellos casos en que el sistema sea compatible.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sabemos que una función ff tiene por derivada la función f′(x)=(3x−2)2⋅(x−2)f'(x) = (3x - 2)^2 \cdot (x - 2).
a
Calcule los valores de xx en que la función ff tiene un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de inflexión, e indique en cada caso de qué se trata.1 pt
b
Determine la función ff sabiendo que se anula en el punto de abscisa x=2x = 2.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dados los vectores u⃗=(2,−1,0)\vec{u} = (2, -1, 0), v⃗=(−1,3,4)\vec{v} = (-1, 3, 4) y w⃗=(0,3a−1,4a)\vec{w} = (0, 3a - 1, 4a),
a
Calcule los valores del parámetro aa para que los vectores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} sean linealmente dependientes.1 pt
b
Calcule los valores del parámetro aa para que un tetraedro de aristas u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} tenga un volumen de 2/32/3 unidades cúbicas.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Considere la ecuación matricial X⋅A=BX \cdot A = B, en la queA=(1−11a−3a−1−101)yB=(−3−2−45−25)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ a & -3 & a - 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -3 & -2 & -4 \\ 5 & -2 & 5 \end{pmatrix}
a
¿Para qué valores del parámetro aa la ecuación matricial tiene una solución única?1 pt
b
Halle la matriz XX que satisface la ecuación matricial cuando a=3a = 3.1 pt
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