Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2010Ordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2010

7 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contesta a sólo una de las dos opciones propuestas (Opción A / Opción B).

Elige una opción

1 punto

Parte A1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte A1.

En una estantería de un comercio hay 8 envases de un producto, de los que 3 están premiados con un viaje. Un cliente compra 2 envases. Calcula la probabilidad de que ninguno de ellos esté premiado.

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1 punto

Parte A1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte A1.

Consideramos la función

f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 3x + b}

, con

b

un número real.

Calcula el valor de

b

para que

f(x)

tenga como asíntota vertical la recta

x = 2

.0,5 pts

0,5 pts

Para el valor de

b

obtenido en i), calcula el límite:

\lim_{x \to 1} f(x)

.0,5 pts

0,5 pts

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1 punto

Parte A1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte A1.

Nuestro experimento consiste en lanzar a la vez una moneda trucada (probabilidad de cara:

1/3

, probabilidad de cruz:

2/3

) y un dado normal (caras de 1 a 6).

Describe el espacio muestral.0,5 pts

0,5 pts

Probabilidad de que un resultado esté formado por una cara y un número impar.0,5 pts

0,5 pts

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1 punto

Parte A1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte A1.

Calcula los puntos de la gráfica de

f(x) = \frac{3 - x^2}{x^3}

en que la tangente a la función es paralela a la recta de ecuación

y = 2

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1 punto

Parte A1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte A1.

Dada

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

, calcula la matriz

A^{-1}

. Calcula la matriz

(A - I)A^{-1}

, donde

I

representa la matriz identidad de orden 2.

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3 puntos

Parte A2

El balance mensual (diferencia en miles de euros entre ingresos y gastos) de una conservera viene estimado por la función:

B(x) = -2x^2 + 10x - 8

, donde la variable

x

representa las toneladas de producto fabricadas.

Calcula el dinero que pierde si un mes no fabrica producto.0,5 pts

0,5 pts

Dibuja la función

B(x)

, para

x \geq 0

.1 pt

1 pt

iii

Calcula las toneladas mensuales que debe producir para maximizar el beneficio.1 pt

1 pt

Calcula el margen de producción para no tener pérdidas (toneladas mínimas y máximas para que el balance sea positivo).0,5 pts

0,5 pts

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3 puntos

Parte A2

Consideramos la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ k & 0 & 3 \end{pmatrix}

Calcula el rango de

A

según los valores del parámetro real

k

.1 pt

1 pt

Para

k = 2

, resuelve el sistema de ecuaciones lineales:

A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix}

.2 pts

2 pts

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1 punto

Parte B1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte B1.

Ver este ejercicio

1 punto

Parte B1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte B1.

Consideramos la función

f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 3x + b}

, con

b

un número real.

Calcula el valor de

b

para que

f(x)

tenga como asíntota vertical la recta

x = 2

.0,5 pts

0,5 pts

Para el valor de

b

obtenido en i), calcula el límite:

\lim_{x \to 1} f(x)

.0,5 pts

0,5 pts

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1 punto

Parte B1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte B1.

Nuestro experimento consiste en lanzar a la vez una moneda trucada (probabilidad de cara:

1/3

, probabilidad de cruz:

2/3

) y un dado normal (caras de 1 a 6).

Describe el espacio muestral.0,5 pts

0,5 pts

Probabilidad de que un resultado esté formado por una cara y un número impar.0,5 pts

0,5 pts

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1 punto

Parte B1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte B1.

Calcula los puntos de la gráfica de

f(x) = \frac{3 - x^2}{x^3}

en que la tangente a la función es paralela a la recta de ecuación

y = 2

Ver este ejercicio

1 punto

Parte B1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte B1.

Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

, calcula la matriz

A^{-1}

. Calcula la matriz

(A - I)A^{-1}

, donde

I

representa la matriz identidad de orden 2.

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3 puntos

Parte B2

Una empresa fabrica dos variedades diferentes de un mismo producto. Entre las dos, debe producir un mínimo de 200 unidades y un máximo de 400. El beneficio obtenido por unidad de la primera variedad es de 200 euros, necesitando 30 horas de trabajo para fabricarla. El beneficio obtenido por unidad de la segunda variedad es de 100 euros, necesitando 20 horas de trabajo para fabricarla.

Si las horas de producción no pueden superar las 6000, calcula el número de unidades de cada tipo que se deben producir para obtener beneficio máximo.1,5 pts

1,5 pts

Si no hay restricción sobre el número de horas de producción, pero se necesita un beneficio de, al menos, 60000 euros, calcula las unidades de cada tipo que se deben fabricar para que el número de horas de producción sea mínimo.1,5 pts

1,5 pts

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3 puntos

Parte B2

Se supone que el consumo mensual de agua por habitante en una determinada ciudad sigue una distribución normal con una desviación típica de 300 litros.

Datos

Desviación típica $\sigma = 300$ litros

Una muestra aleatoria de 100 habitantes nos aporta un consumo mensual medio de 1000 litros. Calcula un intervalo de confianza para la media poblacional con 95% de probabilidad.1,5 pts

1,5 pts

A diferencia del apartado anterior, suponemos conocido que la media de consumo por habitante es de 990 litros. Calcula la probabilidad de que una muestra de 100 habitantes arroje un consumo medio entre 950 y 1040 litros.1,5 pts

1,5 pts

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Instrucciones

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11

Ejercicio 12

Ejercicio 13

Ejercicio 14