Matemáticas CCSS · Castilla y León 2016

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro real $a$: $$\begin{cases} x + y - z = a \\ a x + 2 y - z = 3 a \\ 2 x + a y - z = 6 \end{cases}$$

Un barco pesquero captura marisco y pescado. La clasificación automatizada de sus capturas, que ha de realizarse como mucho en $2$ horas, exige un tiempo de $2$ segundos por cada kg de marisco capturado y de $3$ segundos por cada kg de pescado capturado. Por razones de conservación, puede capturar como mucho $3000\,\text{kg}$ entre marisco y pescado, pero necesita al menos capturar $500\,\text{kg}$ de pescado para atender compromisos comerciales. El barco obtiene un beneficio de $3$ euros por kg de marisco capturado y de $2$ euros por kg de pescado capturado. Utiliza técnicas de programación lineal para calcular la cantidad de marisco y de pescado que el barco ha de capturar para maximizar su beneficio. ¿A cuánto asciende ese beneficio máximo?

En una tarjeta de visita rectangular y de $4500\,\text{mm}^2$ de superficie, la zona destinada a la escritura está delimitada por los márgenes superior, inferior, derecho e izquierdo. Si los márgenes superior e inferior son de $2{,}5\,\text{mm}$ cada uno y los márgenes derecho e izquierdo son de $4{,}5\,\text{mm}$ cada uno, determina las dimensiones de la tarjeta para que la superficie de la zona destinada a la escritura sea máxima.

La función $f(x)$ dada por: $$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x + 8, & 0 < x \leq 3 \\ \frac{18}{x} + 5, & x > 3 \end{cases}$$ expresa el precio de venta (en euros) de una botella de vino en función del tiempo $x$ (en años) que lleva en el mercado.

En el curso 2013-14 los resultados de las pruebas de acceso a las Universidades de Castilla y León de dos centros fueron los siguientes: en el primer centro aprobaron el $75\%$ de los $128$ alumnos presentados, mientras que en el segundo centro aprobaron el $50\%$ de los $88$ alumnos presentados.

El volumen de madera (en $\text{m}^3$) que se obtiene de un chopo de diez años es una variable aleatoria con distribución normal con media $\mu = 0{,}443$ y desviación típica $\sigma = 0{,}068$.

La nota de un estudiante en un examen de matemáticas sigue una distribución normal cuya desviación típica es $\sigma = 0{,}42$ puntos. La nota media de una muestra de $30$ estudiantes es $5{,}5$ puntos. Calcula un intervalo de confianza al $95\%$ para la nota media de un estudiante en un examen de matemáticas.

La clase de los hermanos Laura y Pepe consta de $30$ estudiantes. La clase participa en un sorteo de dos entradas para un evento deportivo, de manera que no se permite que un mismo estudiante consiga las dos entradas. Halla la probabilidad de que ambos hermanos consigan las dos entradas sorteadas.