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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2)(1, 2) y determina en el primer cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x)=∣x−1∣f(x) = |x - 1| en el intervalo [−2,2][-2, 2]. Calcular la función derivada de f(x)f(x) en ese intervalo.1,25 pts
b
Calcular el área del recinto delimitado en el primer cuadrante, por la gráfica de la función y=ln⁡xy = \ln x y las rectas y=0y = 0, y=1y = 1 y x=0x = 0.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Averiguar para qué valores de mm la matriz A=(−101−11−m0m−2)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -m \\ 0 & m & -2 \end{pmatrix} no tiene inversa.0,5 pts
b
Calcula la matriz inversa de AA para m=0m = 0.1 pt
c
Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada AA vale −1-1 y que el determinante de la matriz 2⋅A2 \cdot A vale −16-16. ¿Cuál es el orden de la matriz AA?1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean la recta r≡{x+y=1my+z=0r \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ my + z = 0 \end{cases} y el plano π≡x+(m+1)y+mz=m+1\pi \equiv x + (m + 1)y + mz = m + 1. Estudiar la posición relativa de la recta y el plano según los valores de mm.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función y=ln⁡xxy = \frac{\ln x}{x}, determinar su dominio de definición, sus asíntotas, extremos relativos y puntos de inflexión. Hacer un esbozo de su representación gráfica.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Hallar el valor de mm para que el área delimitada, en el primer cuadrante, por la función y=4x3y = 4x^3 y la recta y=mxy = mx sea de 99 unidades cuadradas.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Discutir según los valores de mm y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales {mx+y=2x+my=mx+y=2\begin{cases} mx + y = 2 \\ x + my = m \\ x + y = 2 \end{cases}.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores v⃗=(0,2,1)\vec{v} = (0, 2, 1) y w⃗=(1,0,−1)\vec{w} = (1, 0, -1).1 pt
b
Calcular el plano que contiene a las rectas r≡{y+1=0x+z=1r \equiv \begin{cases} y + 1 = 0 \\ x + z = 1 \end{cases} y s≡x−1=y+30=z−2s \equiv \frac{x}{-1} = \frac{y + 3}{0} = z - 2.1,5 pts
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