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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2024

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen está distribuido en tres bloques, cada uno con tres ejercicios. En total se debe contestar a 4 ejercicios, de dos maneras posibles: o bien se eligen dos bloques y se contesta a 2 de cada uno de ellos, o bien se contesta a dos de un bloque y a uno de cada bloque restante. Para evitar confusiones, se recomienda consignar claramente en la primera página de las hojas de respuesta a qué cuatro ejercicios se responden en el examen. Todas las respuestas deben ser debidamente justificadas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean ni programables ni gráficas, y que no calculen integrales. TIEMPO: 90 minutos.

Ejercicio 1.1

1.1
2,5 puntos
Álgebra y programación lineal
Resuelve el sistema lineal{3x−y−2z=5x+y+3z=42x−3y+z=8\begin{cases} 3x - y - 2z = 5 \\ x + y + 3z = 4 \\ 2x - 3y + z = 8 \end{cases}¿Por qué valor habrá que sustituir el coeficiente 3 de la primera ecuación para que resultara un sistema sin soluciones?
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Ejercicio 1.2

1.2
2,5 puntos
Álgebra y programación lineal
Halla una matriz AA que cumpla la igualdadA2=(−100−1)A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 1.3

1.3
2,5 puntos
Álgebra y programación lineal
Un pastelero elabora dos clases de pasteles, con masa y chocolate que ya tiene preparados en cuencos. Las llamaremos A y B. Puede elaborar un máximo de 30 unidades de la clase B. Cada unidad de la clase A requiere 2 cuencos de masa y 2 de chocolate, y la vende por 5 euros. Las de B contienen 1 cuenco de masa y 2 de chocolate, y su precio es de 4 euros. Dispone de 60 cuencos de masa y 80 de chocolate para elaborar todos los pasteles. Dado por supuesto que venderá todos los pasteles ¿cuántos tiene que hacer de cada clase para maximizar su beneficio?
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Ejercicio 2.1

2.1
2,5 puntos
Análisis
Definimos la funciónf(x)=2x(x−2)f(x) = \frac{2}{x(x - 2)}para los valores reales xx en los que la expresión tiene sentido.
a
¿Cuál es su dominio?0,25 pts
b
¿Qué asíntotas horizontales y verticales observaremos en la gráfica y=f(x)y = f(x)? Indica los límites de ff relevantes en cada una.0,75 pts
c
Dibuja dicha gráfica, señalando en la misma las asíntotas y también los extremos relativos de ff, que debes calcular previamente.1,5 pts
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Ejercicio 2.2

2.2
2,5 puntos
Análisis
Consideremos la parábolay=5x−x2−4y = 5x - x^2 - 4La recta y=axy = ax corta a la parábola en un punto (x0,y0)(x_0, y_0), e y0y_0 es el máximo valor posible. ¿Cuánto valen a,x0a, x_0 e y0y_0?
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Ejercicio 2.3

2.3
2,5 puntos
Análisis
En la figura se representa la gráfica y=f(x)y = f(x), con f(x)=(x2−1)(x−b)f(x) = (x^2 - 1)(x - b) para cierto bb entre −1-1 y 11.
Gráfica de la función f(x) mostrando los puntos de corte en -1, b y 1.
a
¿Qué signo tienen las integrales ∫−1bf(x)dx\int_{-1}^{b} f(x) dx y ∫b1f(x)dx\int_{b}^{1} f(x) dx?0,25 pts
b
Sabemos que ∫−11f(x)dx=13\int_{-1}^{1} f(x) dx = \frac{1}{3}. Halla entonces el valor de bb.2,25 pts
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Ejercicio 3.1

3.1
2,5 puntos
Estadística y probabilidad
Milena y Santi juegan con un dado. Cada uno lo tira una vez, pero Milena tiene ventaja: si saca un 6 gana ella; en caso contrario, si Santi saca par gana él, y si saca impar gana Milena.
a
¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno?1,25 pts
b
¿Cuál es la probabilidad del suceso “Santi saca par"? ¿Y la de "gana Milena" condicionada a "Santi saca par"? ¿Cuál es entonces la probabilidad de “Santi saca par" condicionada a “gana Milena"?1,25 pts
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Ejercicio 3.2

3.2
2,5 puntos
Estadística y probabilidad
La estatura de las niñas de 3 años en España sigue una distribución normal de media 95 cm95\,\text{cm}.
a
Si nos dicen que una niña que mide 102 cm102\,\text{cm} está en el percentil 97 (es decir, es más alta que el 97% de las niñas de su edad), ¿cuál es la desviación típica de la variable?1,75 pts
b
Se toma una muestra aleatoria independiente de 25 niñas de tres años. ¿Cuál es la media y la desviación típica de su estatura promedio?0,75 pts
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Ejercicio 3.3

3.3
2,5 puntos
Estadística y probabilidad
En un gran yacimiento arqueológico se estudian 36 cráneos, cuyo perímetro medio servirá para datar aproximadamente la época de ocupación. La media resulta ser igual a 56,2 cm56{,}2\,\text{cm}.
a
Si consideramos como desviación típica el valor 1,5 cm1{,}5\,\text{cm}, ¿qué intervalo de confianza obtenemos para situar la media, con nivel de confianza 0,950{,}95?1,25 pts
b
¿Qué desviación típica deberíamos asumir para obtener el mismo intervalo si lo calculamos con el 90% de confianza?1,25 pts
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