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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSNavarraPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Navarra 2020

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Elija tres de los seis ejercicios siguientes.

Ejercicio 1

1
10 puntos
a
Clasifique el siguiente sistema en función del número de soluciones y resuélvalo utilizando el método de Gauss.{x−y+z=32x+y+z=43x+3y+z=5\begin{cases} x - y + z = 3 \\ 2x + y + z = 4 \\ 3x + 3y + z = 5 \end{cases}7 pts
b
Dadas las matrices A=(10−102341−2)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix} y B=(−7−12122−3−8−12)B = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix} calcule ABAB e indique qué relación hay entre AA y BB.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dada la función f(x)=x2+3x+4xf(x) = \frac{x^2 + 3x + 4}{x}
a
Calcule los máximos y mínimos.3 pts
b
Calcule ∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x) \, dx4 pts
c
Calcule la derivada de la función g(x)g(x), siendo g(x)=f(x)+ln⁡(5x−3)2+xe3xg(x) = f(x) + \ln(5x - 3)^2 + x e^{3x}3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
El peso (en toneladas) de los contenedores que transporta una empresa de servicios de transporte marítimo puede aproximarse a una distribución normal con desviación de 33 toneladas.
Datos
  • Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas
a
Se realizó un estudio tomando una muestra aleatoria simple de contenedores y se calculó un intervalo de confianza al 97%97\% para la media poblacional, con un error máximo de 0,6510{,}651. Calcule el tamaño de la muestra que se tomó en ese estudio.5 pts
b
Se decide realizar otro estudio y se selecciona una muestra de contenedores, obteniéndose los siguientes pesos (en toneladas): 55, 1515, 1111, 1111, 1111. Construya un intervalo de confianza para el peso medio de los contenedores, con un nivel de confianza del 93%93\%.5 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Una empresa diseña y vende dos tipos de telas (T1T_1 y T2T_2) con un precio de venta de 3030 euros/m² y 2020 euros/m² respectivamente. Para cubrir la demanda semanal debe fabricar entre todos al menos 22 m². Cada m² de tela T1T_1 y T2T_2 necesitan 22 y 11 horas de máquina y 11 y 11 carretes de hilo. La disponibilidad semanal de estos dos recursos es de 1616 horas de máquina y 1010 carretes de hilo. ¿Cuántos m² de cada tipo de tela tiene que vender la empresa si busca maximizar el beneficio semanal, sabiendo que el coste de elaborar un m² de cada tipo de tela es 1515 y 1010 euros, respectivamente?
a
Plantee el problema.4 pts
b
Resuélvalo gráficamente.4 pts
c
Analice gráficamente qué ocurriría si se quiere elaborar al menos el triple de m² de tela T1T_1 que de tela T2T_2.2 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Considere la siguiente función definida a trozos:f(x)={1−x2x≤1x2−6x+51<x<42x−11x≥4f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & x \leq 1 \\ x^2 - 6x + 5 & 1 < x < 4 \\ 2x - 11 & x \geq 4 \end{cases}
a
Calcule las derivadas laterales de f(x)f(x) en x=4x = 4, utilizando la definición de derivada.4 pts
b
¿La función f(x)f(x) es derivable en x=4x = 4? ¿Es continua en x=4x = 4? Justifique la respuesta.2 pts
c
Calcule la integral ∫6x−1 dx\int \sqrt{6x - 1} \, dx4 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
En un centro de bachillerato aprobaron la prueba de acceso a la universidad 112112 estudiantes de los 140140 que se presentaron. En un segundo centro aprobaron la prueba el 60%60\% de los 110110 estudiantes presentados.
a
Se selecciona un estudiante al azar. Calcule la probabilidad de que haya aprobado.3 pts
b
Se selecciona un estudiante al azar. Calcule la probabilidad de que proceda del segundo centro, sabiendo que el estudiante ha suspendido.4 pts
c
Se seleccionan tres estudiantes al azar sin reemplazamiento. Calcule la probabilidad de que pertenezcan al mismo centro.3 pts
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