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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2022

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la siguiente función: f(x)={−x+e3,x≤0(1−x)a/x,x>0,a∈R. f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x} + e^3, & x \leq 0 \\ (1 - x)^{a/x}, & x > 0 \end{cases}, a \in \mathbb{R}.
a)1 pts
Determina los valores de a∈Ra \in \mathbb{R} para que la función f(x)f(x) sea continua en R\mathbb{R}.
b)1 pts
Calcula, para a=1a = 1, la recta tangente a la función en x=−4x = -4.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Calcula el siguiente límite: lim⁡x→+∞[3x2−2−(3x+5)]. \lim_{x \rightarrow +\infty} \left[ \sqrt{3x^2 - 2} - (\sqrt{3}x + 5) \right].
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula: ∫e−x(x2−1) dx. \int e^{-x} (x^2 - 1) \, dx.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Para la siguiente función: f(x)=(x−1)2x2 f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2}
a)1 pts
Obtén el dominio de definición y estudia su crecimiento y decrecimiento.
b)1 pts
Analiza la curvatura (concavidad = ∩\cap y convexidad = ∪\cup) e existencia de puntos de inflexión en su dominio de definición. Obtén los puntos de inflexión caso de existir.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dada la siguiente matriz: A=(1−10001101) A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a)1 pts
Resuelve la ecuación matricial AX−2I=A2AX - 2I = A^2, donde II es la matriz identidad de orden 3.
b)1 pts
Analiza el rango de la matriz A−mBA - mB, según los valores de m∈Rm \in \mathbb{R}, siendo AA la matriz del apartado anterior y B=(0−101010−10). B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
a)1 pts
Sabiendo que ∣111xyzabc∣=−2\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ a & b & c \end{vmatrix} = -2, calcula justificadamente ∣−a+2−c+2−b+2x/2z/2y/2333∣. \begin{vmatrix} -a + 2 & -c + 2 & -b + 2 \\ x/2 & z/2 & y/2 \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix}.
b)1 pts
Comprueba que la matriz es invertible y calcula su inversa, siendo B=(32001−153−1). B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Dado el siguiente sistema: {−x+3y+z=52x+az=−44x−3z=a+1 \begin{cases} -x + 3y + z = 5 \\ 2x + az = -4 \\ 4x - 3z = a + 1 \end{cases}
a)1 pts
Discute según los valores de a∈Ra \in \mathbb{R} qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible).
b)1 pts
Resuelve el sistema para a=1a = 1.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
a)1 pts
Escribe la ecuación del plano que contiene a las rectas r1r_1 y r2r_2, y además pasa por el punto (−1,2,1)(-1, 2, 1), siendo r1≡x3=y+21=z1yr2≡{x=−1+6ty=−2tz=t r_1 \equiv \frac{x}{3} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{1} \qquad \text{y} \qquad r_2 \equiv \begin{cases} x = -1 + 6t \\ y = -2t \\ z = t \end{cases}
b)1 pts
Dado el vector v⃗=(2,k,2k)\vec{v} = (2, k, 2k), calcula el valor k∈Rk \in \mathbb{R} para que v⃗\vec{v} y los vectores directores de las rectas r1r_1 y r2r_2 sean linealmente dependientes.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
a)1 pts
Dados los siguientes vectores: v⃗1=au⃗1−2u⃗2+3u⃗3\vec{v}_1 = a\vec{u}_1 - 2\vec{u}_2 + 3\vec{u}_3, v⃗2=−u⃗1+au⃗2+u⃗3\vec{v}_2 = -\vec{u}_1 + a\vec{u}_2 + \vec{u}_3, determina el valor del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} para que los vectores v⃗1\vec{v}_1 y v⃗2\vec{v}_2 sean ortogonales, sabiendo que los vectores {u⃗1,u⃗2,u⃗3}\{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\} son ortogonales y de módulo igual a 1.
b)1 pts
Calcula el volumen del tetraedro formado por los vectores v⃗1\vec{v}_1, v⃗2\vec{v}_2 y v⃗3=v⃗1+v⃗2\vec{v}_3 = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 siendo v⃗1=(1,0,−2)yv⃗2=(3,1,0) \vec{v}_1 = (1, 0, -2) \quad \text{y} \quad \vec{v}_2 = (3, 1, 0)
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Ejercicio 10

10
2 puntos
El peso de los recién nacidos de una localidad sigue una distribución normal de media 33003300 gramos y desviación típica 465465 gramos. Un recién nacido tiene bajo peso si su peso es inferior a 25002500 gramos.
a)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga bajo peso?
b)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga un peso entre 35003500 y 40004000 gramos?
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