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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2022

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. Cada pregunta vale 2 puntos en total y puede contener distintos apartados, cuyas puntuaciones se indican. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar)

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la siguiente función:f(x)={−x+e3,x≤0(1−x)a/x,x>0,a∈R. f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x} + e^3, & x \leq 0 \\ (1 - x)^{a/x}, & x > 0 \end{cases}, a \in \mathbb{R}.
a
Determina los valores de a∈Ra \in \mathbb{R} para que la función f(x)f(x) sea continua en R\mathbb{R}.1 pt
b
Calcula, para a=1a = 1, la recta tangente a la función en x=−4x = -4.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Calcula el siguiente límite:lim⁡x→+∞[3x2−2−(3x+5)]. \lim_{x \rightarrow +\infty} \left[ \sqrt{3x^2 - 2} - (\sqrt{3}x + 5) \right].
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula:∫e−x(x2−1) dx. \int e^{-x} (x^2 - 1) \, dx.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Para la siguiente función:f(x)=(x−1)2x2 f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x^2}
a
Obtén el dominio de definición y estudia su crecimiento y decrecimiento.1 pt
b
Analiza la curvatura (concavidad = ∩\cap y convexidad = ∪\cup) e existencia de puntos de inflexión en su dominio de definición. Obtén los puntos de inflexión caso de existir.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dada la siguiente matriz:A=(1−10001101) A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Resuelve la ecuación matricial AX−2I=A2AX - 2I = A^2, donde II es la matriz identidad de orden 3.1 pt
b
Analiza el rango de la matriz A−mBA - mB, según los valores de m∈Rm \in \mathbb{R}, siendo AA la matriz del apartado anterior yB=(0−101010−10). B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}. 1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
a
Sabiendo que ∣111xyzabc∣=−2\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ a & b & c \end{vmatrix} = -2, calcula justificadamente∣−a+2−c+2−b+2x/2z/2y/2333∣. \begin{vmatrix} -a + 2 & -c + 2 & -b + 2 \\ x/2 & z/2 & y/2 \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix}. 1 pt
b
Comprueba que la matriz es invertible y calcula su inversa, siendoB=(32001−153−1). B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \end{pmatrix}. 1 pt
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Dado el siguiente sistema:{−x+3y+z=52x+az=−44x−3z=a+1 \begin{cases} -x + 3y + z = 5 \\ 2x + az = -4 \\ 4x - 3z = a + 1 \end{cases}
a
Discute según los valores de a∈Ra \in \mathbb{R} qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible).1 pt
b
Resuelve el sistema para a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
a
Escribe la ecuación del plano que contiene a las rectas r1r_1 y r2r_2, y además pasa por el punto (−1,2,1)(-1, 2, 1), siendor1≡x3=y+21=z1yr2≡{x=−1+6ty=−2tz=t r_1 \equiv \frac{x}{3} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{1} \qquad \text{y} \qquad r_2 \equiv \begin{cases} x = -1 + 6t \\ y = -2t \\ z = t \end{cases} 1 pt
b
Dado el vector v⃗=(2,k,2k)\vec{v} = (2, k, 2k), calcula el valor k∈Rk \in \mathbb{R} para que v⃗\vec{v} y los vectores directores de las rectas r1r_1 y r2r_2 sean linealmente dependientes.1 pt
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Ejercicio 9

9
2 puntos
a
Dados los siguientes vectores: v⃗1=au⃗1−2u⃗2+3u⃗3\vec{v}_1 = a\vec{u}_1 - 2\vec{u}_2 + 3\vec{u}_3, v⃗2=−u⃗1+au⃗2+u⃗3\vec{v}_2 = -\vec{u}_1 + a\vec{u}_2 + \vec{u}_3, determina el valor del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} para que los vectores v⃗1\vec{v}_1 y v⃗2\vec{v}_2 sean ortogonales, sabiendo que los vectores {u⃗1,u⃗2,u⃗3}\{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\} son ortogonales y de módulo igual a 1.1 pt
b
Calcula el volumen del tetraedro formado por los vectores v⃗1\vec{v}_1, v⃗2\vec{v}_2 y v⃗3=v⃗1+v⃗2\vec{v}_3 = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 siendov⃗1=(1,0,−2)yv⃗2=(3,1,0) \vec{v}_1 = (1, 0, -2) \quad \text{y} \quad \vec{v}_2 = (3, 1, 0) 1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
El peso de los recién nacidos de una localidad sigue una distribución normal de media 33003300 gramos y desviación típica 465465 gramos. Un recién nacido tiene bajo peso si su peso es inferior a 25002500 gramos.
Datos
  • Distribución normal de media 33003300 y desviación típica 465465
a
¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga bajo peso?1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga un peso entre 35003500 y 40004000 gramos?1 pt
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