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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2014

4 ejercicios

Instrucciones

Realiza una de las dos opciones propuestas (A o B)
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{(a+1)x+ay=3(a+1)x+(a+1)y+(a+2)z=1(a2+a)x+(a2−1)y+(a2−2a−8)z=2a+5\begin{cases} (a + 1)x + ay = 3 \\ (a + 1)x + (a + 1)y + (a + 2)z = 1 \\ (a^2 + a)x + (a^2 - 1)y + (a^2 - 2a - 8)z = 2a + 5 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Los puntos P≡(−2,3,2)P \equiv (-2, 3, 2), Q≡(−1,2,4)Q \equiv (-1, 2, 4) y R≡(2,5,1)R \equiv (2, 5, 1) son vértices de un rectángulo. Encuentra el cuarto vértice.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones y simplifica la expresión resultante:
a
f(x)=ln⁡1−x1+xf(x) = \ln \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}1 pt
b
g(x)=(cos⁡xx)2xg(x) = \left(\frac{\cos x}{x}\right)^{2x}1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dada la funciónf(x)=(x−2)ex2−4x+5cos⁡(π5+π2x)f(x) = (x - 2) e^{\sqrt{x^2 - 4x + 5}} \cos \left(\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{2} x\right)demuestra que existe un valor α∈(1,3)\alpha \in (1, 3) tal que f′(α)=0f'(\alpha) = 0. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Sabiendo que el determinante de la matriz A vale 1, halla el valor del determinante de la matriz B.A=(abcdefghk)B=(2gaa−d2hbb−e2kcc−f)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{pmatrix} \qquad \qquad B = \begin{pmatrix} 2g & a & a - d \\ 2h & b & b - e \\ 2k & c & c - f \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta rr que corta perpendicularmente a las rectass≡{2x−y+z−3=0x+2y−z+1=0yt≡x3=y+3−1=z−11s \equiv \begin{cases} 2x - y + z - 3 = 0 \\ x + 2y - z + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad t \equiv \frac{x}{3} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 1}{1}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la funciónf(x)=e1+2x−x2f(x) = e^{1 + 2x - x^2}demuestra que existe un valor α∈(1,2)\alpha \in (1, 2) tal que f′(α)=−ef'(\alpha) = -e. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dada la función f(x)=3+2x2−x4f(x) = 3 + 2x^2 - x^4, halla los puntos de corte con el eje de abscisas y calcula el área de la región del plano encerrada entre esa curva y el eje de abscisas.
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