Matemáticas II · Navarra 2014

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a + 1)x + ay = 3 \\ (a + 1)x + (a + 1)y + (a + 2)z = 1 \\ (a^2 + a)x + (a^2 - 1)y + (a^2 - 2a - 8)z = 2a + 5 \end{cases}$$

Sabiendo que el determinante de la matriz A vale 1, halla el valor del determinante de la matriz B. $$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{pmatrix} \qquad \qquad B = \begin{pmatrix} 2g & a & a - d \\ 2h & b & b - e \\ 2k & c & c - f \end{pmatrix}$$

Los puntos $P \equiv (-2, 3, 2)$, $Q \equiv (-1, 2, 4)$ y $R \equiv (2, 5, 1)$ son vértices de un rectángulo. Encuentra el cuarto vértice.

Encuentra la ecuación continua de la recta $r$ que corta perpendicularmente a las rectas $$s \equiv \begin{cases} 2x - y + z - 3 = 0 \\ x + 2y - z + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad t \equiv \frac{x}{3} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 1}{1}$$

Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones y simplifica la expresión resultante:

Dada la función $$f(x) = e^{1 + 2x - x^2}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = -e$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Dada la función $$f(x) = (x - 2) e^{\sqrt{x^2 - 4x + 5}} \cos \left(\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{2} x\right)$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Dada la función $f(x) = 3 + 2x^2 - x^4$, halla los puntos de corte con el eje de abscisas y calcula el área de la región del plano encerrada entre esa curva y el eje de abscisas.