Matemáticas II · Navarra 2013

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} 2ax + (a^2 + a - 2)y + 2z = 2 \\ ax - y + 2z = 0 \\ -ax + y - z = a \end{cases}$$

Encuentra los valores de $t \in \mathbb{R}$ que hacen que la matriz $A$ sea no regular. $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & t + 3 \\ 4 & -t & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$

Dado el punto $P = (1, 1, 3)$ y la recta $$r \equiv \begin{cases} 2x - y - 2z + 3 = 0 \\ x - y + 4 = 0 \end{cases}$$ encuentra la ecuación general del plano $\pi$ que es perpendicular a la recta $r$ y que cumple $d(P, \pi) = 3$.

Los puntos $P \equiv (2, -2, 1)$, $Q \equiv (-1, -2, 1)$ y $R \equiv (3, 0, 3)$ son tres vértices de un rombo. Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el centro del rombo y es perpendicular al plano que contiene al rombo.

Dada la función $$f(x) = x e^{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = 2$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Calcula los siguientes límites:

Dadas las funciones $f(x) = \sen(\pi x)$ y $g(x) = x^3 - x$, encuentra los tres puntos en que se cortan y calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$.

Dada la función $f(x) = x e^{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$, demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f''(\alpha) = \pi$ (ojo, derivada segunda de $f$). Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.