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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2013

4 ejercicios

Instrucciones

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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{2ax+(a2+a−2)y+2z=2ax−y+2z=0−ax+y−z=a\begin{cases} 2ax + (a^2 + a - 2)y + 2z = 2 \\ ax - y + 2z = 0 \\ -ax + y - z = a \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dado el punto P=(1,1,3)P = (1, 1, 3) y la rectar≡{2x−y−2z+3=0x−y+4=0r \equiv \begin{cases} 2x - y - 2z + 3 = 0 \\ x - y + 4 = 0 \end{cases}encuentra la ecuación general del plano π\pi que es perpendicular a la recta rr y que cumple d(P,π)=3d(P, \pi) = 3.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la funciónf(x)=xecos⁡(π2x)f(x) = x e^{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}demuestra que existe un valor α∈(1,3)\alpha \in (1, 3) tal que f′(α)=2f'(\alpha) = 2. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dadas las funciones f(x)=sen⁡(πx)f(x) = \sen(\pi x) y g(x)=x3−xg(x) = x^3 - x, encuentra los tres puntos en que se cortan y calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x).
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Encuentra los valores de t∈Rt \in \mathbb{R} que hacen que la matriz AA sea no regular.A=(2−1t+34−t12−12)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & t + 3 \\ 4 & -t & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Los puntos P≡(2,−2,1)P \equiv (2, -2, 1), Q≡(−1,−2,1)Q \equiv (-1, -2, 1) y R≡(3,0,3)R \equiv (3, 0, 3) son tres vértices de un rombo. Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el centro del rombo y es perpendicular al plano que contiene al rombo.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula los siguientes límites:
a
lim⁡n→∞(n2−3n2+2n)2n\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{n^2 - 3}{n^2 + 2n}\right)^{2n}1 pt
b
lim⁡x→+∞xcos⁡(π2−2x)\lim_{x \rightarrow +\infty} x \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2}{x}\right)1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dada la función f(x)=xecos⁡(π2x)f(x) = x e^{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}, demuestra que existe un valor α∈(1,3)\alpha \in (1, 3) tal que f′′(α)=πf''(\alpha) = \pi (ojo, derivada segunda de ff). Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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