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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2009Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2009

6 ejercicios

Instrucciones

Responder solo a una de las opciones de cada bloque temático.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
Bloque 1Álxebra lineal

Responda a la Opción 1 o a la Opción 2 (solo una).

a
Dada la matriz A=(a1010a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix}, calcula los rangos de AAtAA^t y de AtAA^t A, siendo AtA^t la matriz transpuesta de AA. Para el valor a=1a = 1, resuelve la ecuación matricial AAtX=BAA^t X = B, siendo B=(03)B = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}.2 pts
b
Sea MM una matriz cuadrada de orden 3 con det⁡(M)=−1\det(M) = -1 y que además verifica M3+M+I=0M^3 + M + I = 0 siendo II la matriz unidad de orden 3. Calcula los determinantes de las matrices: M+IM + I y 3M+3I3M + 3I.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
Bloque 1Álxebra lineal

Responda a la Opción 1 o a la Opción 2 (solo una).

a
Resuelve, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:{x+y−z=52x+y−2z=2\begin{cases} x + y - z = 5 \\ 2x + y - 2z = 2 \end{cases}1,5 pts
b
Calcula el valor de mm, para que al añadir al sistema anterior la ecuación x+2y−z=mx + 2y - z = m resulte un sistema compatible indeterminado.1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
Bloque 2Xeometría

Responda a la Opción 1 o a la Opción 2 (solo una).

Sea rr la recta que pasa por los puntos P(0,8,3)P(0, 8, 3) y Q(2,8,5)Q(2, 8, 5) y ss la rectas:{x−y+7=0y−2z=0s: \begin{cases} x - y + 7 = 0 \\ y - 2z = 0 \end{cases}
a
Estudia la posición relativa de rr y ss. Si se cortan, calcula el punto de corte.1,5 pts
b
Calcula la ecuación de la recta que pasa por PP y es perpendicular al plano que contiene a rr y ss.1,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
3 puntos
Bloque 2Xeometría

Responda a la Opción 1 o a la Opción 2 (solo una).

Sean π\pi el plano que pasa por los puntos A(1,−1,1)A(1, -1, 1), B(2,3,2)B(2, 3, 2), C(3,1,0)C(3, 1, 0) y rr la recta dada porr:x−72=y+6−1=z+32r: \frac{x - 7}{2} = \frac{y + 6}{-1} = \frac{z + 3}{2}
a
Calcula el ángulo que forman la recta rr y el plano π\pi. Calcula el punto de intersección de rr y π\pi.1,5 pts
b
Calcula los puntos de la recta rr que distan 6 unidades del plano π\pi.1,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
4 puntos
Bloque 3Análise

Responda a la Opción 1 o a la Opción 2 (solo una).

a
Define función continua en un punto. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función f(x)=ln⁡(1+x2)xf(x) = \frac{\ln(1 + x^2)}{x} en x=0x = 0?1 pt
b
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función g(x)=2x3−3x2g(x) = 2x^3 - 3x^2.1,5 pts
c
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g(x)=2x3−3x2g(x) = 2x^3 - 3x^2 y la recta y=2xy = 2x.1,5 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
4 puntos
Bloque 3Análise

Responda a la Opción 1 o a la Opción 2 (solo una).

Datos
  • ln⁡=logaritmo neperiano\ln = \text{logaritmo neperiano}
a
Enuncia e interpreta geométricamente el teorema del valor medio del cálculo diferencial.1 pt
b
Calcula un punto de la gráfica de la función g(x)=ex(1+ex)2g(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2} en el que la recta tangente sea paralela al eje OXOX; escribe la ecuación de esa recta tangente. Calcula las asíntotas, si las tiene, de g(x)g(x).1,5 pts
c
Calcula: ∫0ln⁡5ex(1+ex)2dx\int_{0}^{\ln 5} \frac{e^x}{(1 + e^x)^2} dx.1,5 pts
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