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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2022

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger libremente cinco ejercicios completos de los diez propuestos. Se expresará claramente cuáles son los elegidos. Si se resolvieran más, sólo se corregirán los 5 primeros que estén resueltos (según el orden de numeración de pliegos y hojas de cada pliego) y que no aparezcan totalmente tachados. 2.- CALCULADORA: Podrán usarse calculadoras no programables, que no admitan memoria para texto, ni para resolución de ecuaciones, ni para resolución de integrales, ni para representaciones gráficas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Álgebra
a
Discuta según los valores del parámetro mm el sistema de ecuaciones lineales:{x+y+mz=42x−y+2z=3x−2y+z=0\begin{cases} x + y + mz = 4 \\ 2x - y + 2z = 3 \\ x - 2y + z = 0 \end{cases}1,2 pts
b
Resuélvalo para m=2m = 2.0,8 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Álgebra
a
Dadas las matrices A=(1011)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, B=(0210)B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, C=(1322)C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, hállese la matriz XX tal que AX+B=CAX + B = C.1,2 pts
b
Dadas las matrices M=(1−101)M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, N=(1234)N = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, P=(11101110)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, explíquese cuales de los productos MNMN, NPNP, PMPM pueden calcularse, y calcúlense cuando se pueda.0,8 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Geometría
a
Calcule el plano que pasa por el punto (1,0,1)(1,0,1) y es paralelo a los vectores u⃗=(1,1,1)\vec{u} = (1, 1, 1) y v⃗=(1,2,3)\vec{v} = (1, 2, 3).1,5 pts
b
Calcule el plano paralelo a 3x+2y+2z+1=03x + 2y + 2z + 1 = 0 que pasa por el punto (1,2,3)(1,2,3).0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Geometría
a
Encuéntrense las ecuaciones de la recta que está contenida en el plano α≡x−y=0\alpha \equiv x - y = 0, es paralela al plano β≡2x−3y+z=4\beta \equiv 2x - 3y + z = 4 y pasa por el punto P=(1,1,3)P = (1, 1, 3).1 pt
b
Hállese la ecuación del plano que es paralelo a r≡x−1=y+2=z−12r \equiv x - 1 = y + 2 = \frac{z - 1}{2} y pasa por los puntos A=(0,3,1)A = (0, 3, 1) y B=(−2,1,−1)B = (-2, 1, -1).1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Análisis
Dada la función f(x)=x22−xf(x) = \frac{x^2}{2 - x}, se pide:
a
Encuentre su dominio y calcule sus asíntotas, si las tiene.1 pt
b
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si los tiene.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Análisis
a
Calcule lim⁡x→0ln⁡(1+x)ex−1\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{e^x - 1}.1 pt
b
Estudiando previamente el signo de la función en el intervalo [0,3][0,3], hállese el área limitada por la gráfica de la función f(x)=x3−9xf(x) = x^3 - 9x y el eje de abscisas, cuando xx varía en el intervalo [0,3][0,3].1 pt
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Análisis
a
Enuncie el Teorema de Bolzano.1 pt
b
Averigüe si la función f(x)=x+sen⁡x−2f(x) = x + \sen x - 2 se anula en algún punto del intervalo [0,π2][0, \frac{\pi}{2}].1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Análisis
a
Estudie el signo de la función f(x)=x3−4x2+3xf(x) = x^3 - 4x^2 + 3x en el intervalo [0,2][0,2].0,5 pts
b
Calcule el área limitada por la gráfica de la función f(x)=x3−4x2+3xf(x) = x^3 - 4x^2 + 3x y el eje de abscisas en el intervalo [0,2][0,2].1,5 pts
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Probabilidad y estadística
Entre los participantes de un torneo internacional de ajedrez: • El 28% de ellos son rusos, de los cuales las tres cuartas partes son grandes maestros. • El 24% son estadounidenses y entre ellos la mitad son grandes maestros. • El 48% son del resto del mundo, de los cuales un tercio son grandes maestros. Considerando los sucesos: R="ser ruso"R = \text{"ser ruso"}, E="ser estadounidense"E = \text{"ser estadounidense"}, M="no ser ruso ni estadounidense"M = \text{"no ser ruso ni estadounidense"} y GM="ser gran maestro"GM = \text{"ser gran maestro"}
a
Indique cuáles son los valores de P(GM/R)P(GM/R), P(GM/E)P(GM/E) y P(GM/M)P(GM/M).0,3 pts
b
Calcule la probabilidad de que al elegir al azar a uno de los participantes en el torneo, sea un gran maestro.0,7 pts
c
Si se elige al azar a uno de los grandes maestros del torneo, ¿cuál es la probabilidad de que sea ruso?1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Probabilidad y estadística
La variable agudeza visual de una población se ajusta a una distribución normal de media 2 cpg2\,\text{cpg} (ciclos por segundo) y desviación típica 1 cpg1\,\text{cpg}. A los individuos con una agudeza visual inferior a 1,1 cpg1{,}1\,\text{cpg} se les considera con “problemas visuales graves”.
Gráfica de la función de distribución de una normal estándar con el área bajo la curva sombreada hasta un valor x.
a
¿Qué porcentaje de la población tiene “problemas visuales graves”?1 pt
b
¿Qué porcentaje de la población tiene una agudeza visual entre 22 y 2,9 cpg2{,}9\,\text{cpg}?1 pt
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