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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2022

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2 puntos
Álgebra
a)1,2 pts
Discuta según los valores del parámetro mm el sistema de ecuaciones lineales: {x+y+mz=42x−y+2z=3x−2y+z=0\begin{cases} x + y + mz = 4 \\ 2x - y + 2z = 3 \\ x - 2y + z = 0 \end{cases}
b)0,8 pts
Resuélvalo para m=2m = 2.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Álgebra
a)1,2 pts
Dadas las matrices A=(1011)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, B=(0210)B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, C=(1322)C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, hállese la matriz XX tal que AX+B=CAX + B = C.
b)0,8 pts
Dadas las matrices M=(1−101)M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, N=(1234)N = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, P=(11101110)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, explíquese cuales de los productos MNMN, NPNP, PMPM pueden calcularse, y calcúlense cuando se pueda.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Geometría
a)1,5 pts
Calcule el plano que pasa por el punto (1,0,1)(1,0,1) y es paralelo a los vectores u⃗=(1,1,1)\vec{u} = (1, 1, 1) y v⃗=(1,2,3)\vec{v} = (1, 2, 3).
b)0,5 pts
Calcule el plano paralelo a 3x+2y+2z+1=03x + 2y + 2z + 1 = 0 que pasa por el punto (1,2,3)(1,2,3).
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Geometría
a)1 pts
Encuéntrense las ecuaciones de la recta que está contenida en el plano α≡x−y=0\alpha \equiv x - y = 0, es paralela al plano β≡2x−3y+z=4\beta \equiv 2x - 3y + z = 4 y pasa por el punto P=(1,1,3)P = (1, 1, 3).
b)1 pts
Hállese la ecuación del plano que es paralelo a r≡x−1=y+2=z−12r \equiv x - 1 = y + 2 = \frac{z - 1}{2} y pasa por los puntos A=(0,3,1)A = (0, 3, 1) y B=(−2,1,−1)B = (-2, 1, -1).
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Análisis
Dada la función f(x)=x22−xf(x) = \frac{x^2}{2 - x}, se pide:
a)1 pts
Encuentre su dominio y calcule sus asíntotas, si las tiene.
b)1 pts
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si los tiene.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Análisis
a)1 pts
Calcule lim⁡x→0ln⁡(1+x)ex−1\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{e^x - 1}.
b)1 pts
Estudiando previamente el signo de la función en el intervalo [0,3][0,3], hállese el área limitada por la gráfica de la función f(x)=x3−9xf(x) = x^3 - 9x y el eje de abscisas, cuando xx varía en el intervalo [0,3][0,3].
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Análisis
a)1 pts
Enuncie el Teorema de Bolzano.
b)1 pts
Averigüe si la función f(x)=x+sen⁡x−2f(x) = x + \sen x - 2 se anula en algún punto del intervalo [0,π2][0, \frac{\pi}{2}].
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Análisis
a)0,5 pts
Estudie el signo de la función f(x)=x3−4x2+3xf(x) = x^3 - 4x^2 + 3x en el intervalo [0,2][0,2].
b)1,5 pts
Calcule el área limitada por la gráfica de la función f(x)=x3−4x2+3xf(x) = x^3 - 4x^2 + 3x y el eje de abscisas en el intervalo [0,2][0,2].
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Probabilidad y Estadística
Entre los participantes de un torneo internacional de ajedrez: • El 28% de ellos son rusos, de los cuales las tres cuartas partes son grandes maestros. • El 24% son estadounidenses y entre ellos la mitad son grandes maestros. • El 48% son del resto del mundo, de los cuales un tercio son grandes maestros. Considerando los sucesos: R="ser ruso"R = \text{"ser ruso"}, E="ser estadounidense"E = \text{"ser estadounidense"}, M="no ser ruso ni estadounidense"M = \text{"no ser ruso ni estadounidense"} y GM="ser gran maestro"GM = \text{"ser gran maestro"}
a)0,3 pts
Indique cuáles son los valores de P(GM/R)P(GM/R), P(GM/E)P(GM/E) y P(GM/M)P(GM/M).
b)0,7 pts
Calcule la probabilidad de que al elegir al azar a uno de los participantes en el torneo, sea un gran maestro.
c)1 pts
Si se elige al azar a uno de los grandes maestros del torneo, ¿cuál es la probabilidad de que sea ruso?
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Probabilidad y Estadística
La variable agudeza visual de una población se ajusta a una distribución normal de media 2 cpg2\,\text{cpg} (ciclos por segundo) y desviación típica 1 cpg1\,\text{cpg}. A los individuos con una agudeza visual inferior a 1,1 cpg1{,}1\,\text{cpg} se les considera con “problemas visuales graves”.
Gráfica de la función de distribución de una normal estándar con el área bajo la curva sombreada hasta un valor x.
Gráfica de la función de distribución de una normal estándar con el área bajo la curva sombreada hasta un valor x.
a)1 pts
¿Qué porcentaje de la población tiene “problemas visuales graves”?
b)1 pts
¿Qué porcentaje de la población tiene una agudeza visual entre 22 y 2,9 cpg2{,}9\,\text{cpg}?
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