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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla y LeónPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla y León 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1), tabla binomial como anexo. OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada pregunta de la 1 a la 3 se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. La pregunta 4 se puntuará sobre un máximo de 1 punto. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de las cuatro preguntas. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
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Ejercicio 1

1
3 puntos
A una persona le tocan 1000010000 euros en la lotería de Navidad y le aconsejan que los invierta en dos tipos de acciones de la Bolsa, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio anual del 10%10\% del capital invertido en ellas. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo un beneficio del 7%7\% anual del capital invertido en ellas. Tras varias deliberaciones decide invertir como mucho 60006000 euros en la compra de acciones de cada tipo. Además, decide invertir en acciones de tipo A al menos la misma cantidad que en acciones de tipo B. Utiliza técnicas de programación lineal para hallar la cantidad que debe invertir en cada tipo de acción para que el beneficio anual sea máximo. ¿Cuál es ese beneficio máximo?
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Sea la función f(x)={1+1si x<0xsi 0≤x<23x+2si x≥2f(x) = \begin{cases} 1 + 1 & \text{si } x < 0 \\ x & \text{si } 0 \leq x < 2 \\ 3x + 2 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}
a
Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función f(x)f(x) en todos sus puntos.
b
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x)y = f(x) en el punto x=−1x = -1.
c
Representa gráficamente la función f(x)f(x).
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Ejercicio 3

3
3 puntos
El 30%30\% de los habitantes de una localidad son jubilados y el 20%20\% son estudiantes, mientras que el resto ni están jubilados ni son estudiantes. El 80%80\% de los jubilados, así como el 20%20\% de los estudiantes y el 40%40\% del resto de habitantes, son socios del club de fútbol local.
a
Elegido al azar un habitante de esa localidad, calcula la probabilidad de que sea socio del club de fútbol.
b
Elegido al azar un socio del club de fútbol, calcula la probabilidad de que sea jubilado.
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Ejercicio 4

4
1 punto
Calcula P(A∪B)P(A \cup B) sabiendo que P(A)=0,4P(A) = 0{,}4, P(B)=0,5P(B) = 0{,}5 y P(B/A)=0,3P(B/A) = 0{,}3.
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la matriz:A=(1−1001t1t2)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & t \\ 1 & t & 2 \end{pmatrix}
a
Determina los valores de tt para los que existe la matriz inversa de AA.
b
Calcula la matriz inversa para t=2t = 2.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
El saldo de una cuenta bancaria en un periodo de 55 años viene dado por la función f(t)=−12t3+90t2−144t+84f(t) = -12t^3 + 90t^2 - 144t + 84, 0≤t≤50 \leq t \leq 5 siendo tt el tiempo en años.
a
Calcula los saldos inicial y final.
b
¿En qué momento el saldo de la cuenta es máximo? ¿Y cuándo es mínimo?
c
Analiza si en algún momento el saldo es negativo y determina todos los periodos donde se observa un crecimiento del saldo.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Se sabe que el tiempo que una persona dedica a ver la televisión cada día sigue una distribución normal con media μ\mu minutos y desviación típica σ=20\sigma = 20 minutos. Un estudio desea comprobar si el tiempo medio diario por persona viendo la televisión es de 33 horas. Para ello se entrevista a una muestra representativa de 225225 televidentes, resultando un tiempo medio muestral de 188188 minutos.
a
Plantea un test de hipótesis que permita decidir si el tiempo medio es de 33 horas con una confianza del 95%95\%.
b
Proporciona un intervalo de confianza al 99%99\% para el tiempo medio μ\mu dedicado a ver la televisión.
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Ejercicio 4

4
1 punto
Tenemos dos llaves de un trastero, cada una en un llavero. Si elegimos una llave al azar de uno de los llaveros, ¿cuál es la probabilidad de que abra el trastero, sabiendo que uno de los llaveros tiene 55 llaves y el otro 77 llaves?
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