Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumnado contestará solo CUATRO problemas entre los OCHO propuestos. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 4 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real mm:{−x+y+z=m2x+my−z=3m(m−1)x+3y−z=6+m\begin{cases} -x + y + z = m \\ 2x + my - z = 3m \\ (m-1)x + 3y - z = 6 + m \end{cases}Se pide: a) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro mm. (6 puntos) b) Para los valores de mm para los que el sistema es compatible indeterminado, encontrar la solución. (4 puntos)
a
Discutir el sistema en función de los valores del parámetro mm.6 pts
b
Para los valores de mm para los que el sistema es compatible indeterminado, encontrar la solución.4 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
10 puntos
Se consideran las matrices A=(12mm0m0m1m)A = \begin{pmatrix} 1 & 2m & m \\ 0 & m & 0 \\ m & 1 & m \end{pmatrix} y B=(100100)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. Se pide: a) Estudiar el rango de AA en función del parámetro real mm. (3 puntos) b) Para m=−1m = -1, resolver la ecuación matricial AX=BAX = B. (4 puntos) c) Para m=0m = 0, calcular A5A^5. (3 puntos)
a
Estudiar el rango de AA en función del parámetro real mm.3 pts
b
Para m=−1m = -1, resolver la ecuación matricial AX=BAX = B.4 pts
c
Para m=0m = 0, calcular A5A^5.3 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
10 puntos
Se considera la recta r:x−12=y+13=z+2−1r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{3} = \dfrac{z+2}{-1} y el plano π:3x−my+z=1\pi: 3x - my + z = 1. Se pide: a) Determinar los valores del parámetro real mm para que rr y π\pi sean paralelos. Obtener además los valores de mm para los que el plano π\pi contiene a la recta rr. (4 puntos) b) Para los valores mm del apartado anterior, hallar un plano paralelo a π\pi que contenga a la recta rr. (3 puntos) c) Calcular, en función de mm, la distancia entre π\pi y el punto P=(1,−1,−2)P = (1, -1, -2). (3 puntos)
a
Determinar los valores del parámetro real mm para que rr y π\pi sean paralelos. Obtener además los valores de mm para los que el plano π\pi contiene a la recta rr.4 pts
b
Para los valores mm del apartado anterior, hallar un plano paralelo a π\pi que contenga a la recta rr.3 pts
c
Calcular, en función de mm, la distancia entre π\pi y el punto P=(1,−1,−2)P = (1, -1, -2).3 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
10 puntos
Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P=(2,1,3)P = (2,1,3) y Q=(1,3,1)Q = (1,3,1), y los otros dos sobre una recta rr que pasa por el punto R=(4,7,6)R = (4,7,6). a) Calcular la ecuación de la recta rr. (2 puntos) b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. (3 puntos) c) Hallar las coordenadas de los otros dos vértices. (5 puntos)
a
Calcular la ecuación de la recta rr.2 pts
b
Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado.3 pts
c
Hallar las coordenadas de los otros dos vértices.5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
10 puntos
Sea la función f(x)=kxe2xf(x) = \dfrac{kx}{e^{2x}}. Donde kk es un parámetro real. Se pide: a) Obtener el dominio y las asíntotas de f(x)f(x). (3 puntos) b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) y sus máximos y mínimos. (5 puntos) c) Justificar que la función siempre se anula en algún punto del intervalo [−1,1][-1,1]. (2 puntos)
a
Obtener el dominio y las asíntotas de f(x)f(x).3 pts
b
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) y sus máximos y mínimos.5 pts
c
Justificar que la función siempre se anula en algún punto del intervalo [−1,1][-1,1].2 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
10 puntos
Sea el rectángulo RR definido por los puntos del plano (−1,0)(-1,0), (1,0)(1,0), (1,1)(1,1) y (−1,1)(-1,1). Se consideran las gráficas de las funciones f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=ag(x) = a, 0<a<10 < a < 1 contenidas dentro de RR. Obtener el valor de aa que cumple que el área comprendida entre dichas gráficas es igual a un tercio del área de RR. (10 puntos)
Ver este ejercicio

Ejercicio 7

7
10 puntos
Una bolsa contiene dos monedas que llamamos M1M_1 y M2M_2. La moneda M1M_1 es una moneda trucada que tiene impresa una cara en uno de sus lados y una cruz en el otro. La probabilidad de obtener cara con la moneda M1M_1 es de 0.6. La moneda M2M_2 tiene una cara impresa en ambos lados. a) Escogemos una moneda al azar de la bolsa, la lanzamos, anotamos el resultado y la devolvemos a la bolsa. Repetimos esta acción tres veces. 1. ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido tres caras? (3 puntos) 2. ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido exactamente una cruz? (3 puntos) b) Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces observándose dos caras. Calcular la probabilidad de que la moneda seleccionada sea la moneda M1M_1. Responder a la misma pregunta para la moneda M2M_2. (4 puntos)
a
Escogemos una moneda al azar de la bolsa, la lanzamos, anotamos el resultado y la devolvemos a la bolsa. Repetimos esta acción tres veces.6 pts
a.1
¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido tres caras?3 pts
a.2
¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido exactamente una cruz?3 pts
b
Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces observándose dos caras. Calcular la probabilidad de que la moneda seleccionada sea la moneda M1M_1. Responder a la misma pregunta para la moneda M2M_2.4 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 8

8
10 puntos
Un comercial de venta por teléfono sabe que en el 30% de sus llamadas no consigue una venta. Este comercial realiza 10 llamadas. a) Calcular la probabilidad de que consiga más de 7 ventas. (3 puntos) b) Calcular la probabilidad de que consiga al menos 5 ventas. (3 puntos) c) Calcular la probabilidad de que consiga un mínimo de 3 ventas y un máximo de 8 ventas. (4 puntos) Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.
a
Calcular la probabilidad de que consiga más de 7 ventas.3 pts
b
Calcular la probabilidad de que consiga al menos 5 ventas.3 pts
c
Calcular la probabilidad de que consiga un mínimo de 3 ventas y un máximo de 8 ventas.4 pts
Ver este ejercicio