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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2013

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica. Se prohíbe su utilización indebida (guardar fórmulas o texto en memoria). Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se tiene el sistema de ecuaciones {2x+5y=a−x−4y=b2x+y=c\begin{cases} 2x + 5y = a \\ -x - 4y = b \\ 2x + y = c \end{cases}, donde aa, bb y cc son tres números reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La relación que deben verificar los números aa, bb y cc para que el sistema sea compatible.4 pts
b
La solución del sistema cuando a=−1a = -1, b=2b = 2 y c=3c = 3.2 pts
c
La solución del sistema cuando los números aa, bb y cc verifican la relación a=−2b=ca = -2b = c.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Sean O=(0,0,0)O = (0,0,0), A=(1,0,1)A = (1,0,1), B=(2,1,0)B = (2,1,0) y C=(0,2,3)C = (0,2,3). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El área del triángulo de vértices OO, AA y BB (3 puntos) y el volumen del tetraedro de vértices OO, AA, BB y CC (2 puntos).5 pts
b
La distancia del vértice CC al plano que contiene al triángulo OABOAB.3 pts
c
La distancia del punto C′C' al plano que contiene al triángulo OABOAB, siendo C′C' el punto medio del segmento de extremos OO y CC.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se estudió el movimiento de un meteorito del sistema solar durante un mes. Se obtuvo que la ecuación de su trayectoria TT es y2=2x+9y^2 = 2x + 9, siendo −4,5≤x≤8-4{,}5 \leq x \leq 8 y y≥0y \geq 0, estando situado el Sol en el punto (0,0)(0,0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
Datos
  • En los tres resultados sólo se dará la expresión algebraica o el valor numérico obtenido, sin mencionar la unidad de medida por no haber sido indicada en el enunciado
a
La distancia del meteorito al Sol desde un punto PP de su trayectoria cuya abscisa es xx.3 pts
b
El punto PP de la trayectoria TT donde el meteorito alcanza la distancia mínima al Sol.5 pts
c
Distancia mínima del meteorito al Sol.2 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Dadas las matrices A=(−20011042−2)A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix} y B=(2120−15002)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, obtener razonadamente el valor de los determinantes siguientes, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
∣A+B∣|A + B| y ∣12(A+B)−1∣|\frac{1}{2}(A + B)^{-1}|.4 pts
b
∣(A+B)−1A∣|(A + B)^{-1}A| y ∣A−1(A+B)∣|A^{-1}(A + B)|.3 pts
c
∣2ABA−1∣|2ABA^{-1}| y ∣A3B−1∣|A^3B^{-1}|.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dados los puntos A=(1,0,1)A = (1,0,1), B=(2,−1,0)B = (2,-1,0), C=(0,1,1)C = (0,1,1) y P=(0,−3,2)P = (0,-3,2), se pide calcular razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La distancia del punto PP al punto AA.2 pts
b
La distancia del punto PP a la recta que pasa por los puntos AA y BB.4 pts
c
La distancia del punto PP al plano que pasa por los puntos AA, BB y CC.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dada la función ff definida por f(x)=sen⁡xf(x) = \sen x, para cualquier valor real xx, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La ecuación de la recta tangent a la curva y=f(x)y = f(x) en el punto de abscissa x=π/6x = \pi / 6.4 pts
b
La ecuación de la recta normal a la curva y=f(x)y = f(x) en el punto de abscissa x=π/3x = \pi / 3. Se recuerda que la recta normal a una curva en un punto PP es la recta que pasa por ese punto PP y es perpendicular a la recta tangent a la curva en el punto PP.3 pts
c
El ángulo formado por las rectas determinadas en los apartados a) y b).3 pts
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