Matemáticas CCSS · Cataluña 2011

Un estudio de laboratorio sobre la propagación de una especie de moscas muestra que, pasadas $t$ semanas, el nombre de individuos es $N(t)$ centenares de moscas, en el que $N(t) = -(t - 2)^2 + 9$.

Una empresa fabrica dos tipos de bebidas, que llamaremos $B_1$ y $B_2$, y en el proceso de fabricación utiliza dos tipos de ingredientes, que designaremos C y D. Dispone de $90$ L de C y de $150$ L de D. Por cada bidón de bebida $B_1$ se necesitan $1$ L de ingrediente C y $2$ L de ingrediente D, y por cada bidón de bebida $B_2$ se necesitan $2$ L de C y $1$ L de D. Sabemos que cada bidón de $B_1$ da $10$ € de beneficio, y que cada bidón de $B_2$ proporciona $15$ €.

Considere el triángulo de vértices $A = (2, -1)$, $B = (5, 0)$ y $C = (2, 4)$.

Determine dos números enteros positivos que sumen $25$, de manera que el doble del cuadrado del primero sumado con el triple del cuadrado del segundo dé el mínimo valor posible.

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ -3 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

Sabemos que la función $f(x) = ax^3 + 3x^2 - bx - \frac{1}{3}$ pasa por el punto $(1, 0)$, y que la recta tangente a la gráfica de la función en este punto es paralela a la recta $12x - 2y = 3$.