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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Cataluña 2011

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué es lo que quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se pueden usar calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Un estudio de laboratorio sobre la propagación de una especie de moscas muestra que, pasadas tt semanas, el nombre de individuos es N(t)N(t) centenares de moscas, en el que N(t)=−(t−2)2+9N(t) = -(t - 2)^2 + 9.
a
¿Cuántas moscas forman la población al cabo de una semana? ¿Cuántas semanas han de transcurrir hasta la desaparición total de las moscas?1 pt
b
¿Cuál es la población máxima de individuos? ¿Cuántas semanas han tenido que pasar para obtener esta población máxima?1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Una empresa fabrica dos tipos de bebidas, que llamaremos B1B_1 y B2B_2, y en el proceso de fabricación utiliza dos tipos de ingredientes, que designaremos C y D. Dispone de 9090 L de C y de 150150 L de D. Por cada bidón de bebida B1B_1 se necesitan 11 L de ingrediente C y 22 L de ingrediente D, y por cada bidón de bebida B2B_2 se necesitan 22 L de C y 11 L de D. Sabemos que cada bidón de B1B_1 da 1010 € de beneficio, y que cada bidón de B2B_2 proporciona 1515 €.
a
Plantee las inecuaciones correspondientes a las restricciones indicadas, calcule los vértices de la región factible, y dibújela.1 pt
b
Escriba la función objetivo. ¿Cuántos bidones de cada tipo hay que fabricar para obtener el beneficio máximo? ¿Cuál es este beneficio?1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Considere el triángulo de vértices A=(2,−1)A = (2, -1), B=(5,0)B = (5, 0) y C=(2,4)C = (2, 4).
a
Determine las ecuaciones de las rectas del plano que contienen los lados del triángulo ABC.1 pt
b
Considere el sistema de ecuaciones formado por las tres ecuaciones del apartado anterior. Determine el rango de la matriz asociada y el rango de la matriz ampliada de este sistema. Justifique la respuesta.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Determine dos números enteros positivos que sumen 2525, de manera que el doble del cuadrado del primero sumado con el triple del cuadrado del segundo dé el mínimo valor posible.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Considere la matriz A=(1−13−31−2)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ -3 & 1 & -2 \end{pmatrix}
a
Una matriz B, cuya primera fila es (2,1)(2, 1), tiene dos columnas y cumple que A⋅B=(1312)A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. Complétela.1 pt
b
Calcule (A⋅B)−1(A \cdot B)^{-1}.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Sabemos que la función f(x)=ax3+3x2−bx−13f(x) = ax^3 + 3x^2 - bx - \frac{1}{3} pasa por el punto (1,0)(1, 0), y que la recta tangente a la gráfica de la función en este punto es paralela a la recta 12x−2y=312x - 2y = 3.
a
Determine los valores de los parámetros aa y bb.1 pt
b
Para a=1a = 1 y b=9b = 9, determine, si las hay, las abscisas de los extremos posibles (máximos o mínimos) de la función, y clasifíquelos.1 pt
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