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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSNavarraPAU 2020Ordinaria

Matemáticas CCSS · Navarra 2020

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Elija tres de los seis ejercicios siguientes.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dadas las matrices A=(10m−5)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & -5 \end{pmatrix}, B=(−1012)B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, C=(0001)C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y D=(−2110−12)D = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, responda a las siguientes cuestiones:
i
Determine el valor de mm para que A2=(10025)A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 25 \end{pmatrix}.3,5 pts
ii
Calcule C⋅Bt+Dt⋅DC \cdot B^t + D^t \cdot D.3,5 pts
iii
¿Qué dimensión debe tener una matriz NN para que pueda calcularse el producto DNCDNC? ¿Y para que BDtB D^t sea una matriz cuadrada? Razone las respuestas.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
i
Calcule el valor de los parámetros de la función f(x)=−x3+ax2+bx+cf(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c, sabiendo que tiene un extremo relativo en el punto (−1,0)(-1, 0) y un punto de inflexión en el punto x=1/3x = 1/3.5 pts
ii
Calcule las asíntotas de la función f(x)=3x2+1x−2f(x) = \frac{3x^2 + 1}{x - 2}.5 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Una empresa tecnológica clasifica a sus 30 empleados en tres secciones: Portátiles (16 empleados), Telefonía (10 empleados) y Sonido (4 empleados). El 25% de los trabajadores de la sección Portátiles, el 20% de Telefonía y 3 trabajadores de Sonido tienen titulación C1 en inglés. Se selecciona al azar un empleado de la empresa.
a
Calcule la probabilidad de que no tenga titulación C1 en inglés y trabaje en la sección de Sonido.3 pts
b
Calcule la probabilidad de que trabaje en la sección de Telefonía, sabiendo que tiene titulación en inglés.3,5 pts
c
Consideremos los sucesos AA "el empleado trabaja en la sección Portátiles" y el suceso BB "el empleado tiene titulación C1 en inglés". Compruebe si los sucesos AA y BB son o no independientes.3,5 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Una empresa fabrica dos tipos de biocombustibles (T1T_1 y T2T_2) a partir de aceites vegetales y vende cada tonelada de biocombustible a un precio de 20002000 euros y 18001800 euros, respectivamente. Cada tonelada de biocombustible T1T_1 requiere 33 horas de proceso en la línea de producción y 22 unidades de materia prima. Cada tonelada de biocombustible T2T_2 requiere 11 hora de proceso en la línea de producción y 44 unidades de materia prima. Cada semana la empresa dispone de 195195 unidades de materia prima y de 9090 horas de tiempo de proceso en la línea de producción. Determine cuántas toneladas de cada tipo de biocombustible se deberá fabricar semanalmente para maximizar el precio total de venta, sabiendo que además se desea fabricar un total de al menos 44 toneladas de biocombustible.
i
Plantee el problema.4 pts
ii
Resuélvalo gráficamente.4 pts
iii
Analice gráficamente qué ocurriría si se considerara un objetivo de tipo ecológico, y se deseara minimizar el nivel de contaminación asociado a este proceso de producción, sabiendo que fabricar una tonelada de biocombustible T1T_1 produce 55 unidades de contaminación y fabricar una tonelada de biocombustible T2T_2 produce 1010 unidades de contaminación.2 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Sea la función y=x3−3x2y = x^3 - 3x^2.
i
Calcule los puntos de corte con los ejes.1 pt
ii
Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Calcule los máximos y mínimos.3 pts
iii
Dibuje el recinto limitado por la función y el eje XX.2 pts
iv
Calcule el área de dicho recinto.4 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
El tiempo que la población de jóvenes de una región dedica mensualmente a hacer deporte sigue una distribución normal con varianza de 1616 horas. El tiempo medio obtenido a partir de una muestra aleatoria de 6464 jóvenes de dicha región es de 25,825{,}8 horas.
i
Calcule un intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza del 95%95\%.5 pts
ii
Con los datos de esa muestra se ha calculado el siguiente intervalo de confianza para el tiempo medio que los jóvenes de dicha región dedican mensualmente a hacer deporte: [24,9775,26,6225][24{,}9775, 26{,}6225]. Determine el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta.5 pts
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