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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Determine, según los valores de mm, el rango de la matriz real A=(m−11−10m−21m02)A = \begin{pmatrix} m - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & m - 2 & 1 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix}
a
Determine, según los valores de mm, el rango de la matriz real AA.7 pts
b
En el caso m=1m = 1, calcule las soluciones del sistema homogéneo A(xyz)=(000)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Considere las rectas siguientes:x−1k=y2=z+3k,x+12k=yk+3=z−22\frac{x - 1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z + 3}{k}, \quad \frac{x + 1}{2k} = \frac{y}{k + 3} = \frac{z - 2}{2}
a
Calcule el valor de kk para el cual las rectas siguientes son paralelas.3 pts
b
Calcule, en este caso, la distancia entre las rectas.7 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considere la curva y=11+x2y = \frac{1}{1 + x^2}.
a
Calcule el punto de la curva en el cual la pendiente de la recta tangente sea máxima.6 pts
b
Haga un dibujo donde aparezcan la curva, el punto y la recta tangente.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Considere la región limitada por la hipérbola xy=4xy = 4 y la recta que la corta en los puntos de abscisas x=1x = 1 y x=4x = 4.
a
Calcule el área de la región limitada por la hipérbola xy=4xy = 4 y la recta que la corta en los puntos de abscisas x=1,x=4x = 1, x = 4.7 pts
b
Haga un dibujo de la región.3 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Se consideran las matrices A=(1−11212001)yB=(001011111)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} Calcule la matriz XX que verifica: XA+I=BXA + I = B, donde II representa la matriz identidad.
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Sean P=(a1,b1,c1)P = (a_1, b_1, c_1) y Q=(a2,b2,c2)Q = (a_2, b_2, c_2) dos puntos del plano Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0.
a
Demuestre que el vector PQ⃗\vec{PQ} es perpendicular al vector n⃗=(A,B,C)\vec{n} = (A, B, C).4 pts
b
Aplíquelo para calcular la ecuación general del plano que contiene los puntos P=(1,2,3)P = (1, 2, 3), Q=(−1,0,2)Q = (-1, 0, 2) y R=(1,1,1)R = (1, 1, 1).6 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se considera la función f(x)=x∣x∣f(x) = x|x|.
a
Calcule las ecuaciones y los dominios de las funciones f(x)f(x), f′(x)f'(x), f′′(x)f''(x) y f′′′(x)f'''(x).6 pts
b
Represéntelas gráficamente.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Sea A(t),t>0A(t), t > 0, el área de la región limitada por la curva y=x23y = \sqrt[3]{x^2} y las rectas y=0,x=ty = 0, x = t.
a
Represente gráficamente esta región.4 pts
b
Calcule el valor de tt para el cual A(t)=1A(t) = 1.6 pts
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