Matemáticas II · Baleares 2010

Determine, según los valores de $m$, el rango de la matriz real $A$.

En el caso $m = 1$, calcule las soluciones del sistema homogéneo $$A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Calcule el valor de $k$ para el cual las rectas siguientes son paralelas.

Calcule, en este caso, la distancia entre las rectas.

Demuestre que el vector $\vec{PQ}$ es perpendicular al vector $\vec{n} = (A, B, C)$.

Aplíquelo para calcular la ecuación general del plano que contiene los puntos $P = (1, 2, 3)$, $Q = (-1, 0, 2)$ y $R = (1, 1, 1)$.

Calcule el punto de la curva en el cual la pendiente de la recta tangente sea máxima.

Haga un dibujo donde aparezcan la curva, el punto y la recta tangente.

Calcule las ecuaciones y los dominios de las funciones $f(x)$, $f'(x)$, $f''(x)$ y $f'''(x)$.

Represéntelas gráficamente.

Calcule el área de la región limitada por la hipérbola $xy = 4$ y la recta que la corta en los puntos de abscisas $x = 1, x = 4$.

Haga un dibujo de la región.

Represente gráficamente esta región.

Calcule el valor de $t$ para el cual $A(t) = 1$.