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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2012Modelo 1

Matemáticas II · Andalucía 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=1x+ln⁡(x)f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano.
a
Halla los extremos absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo [1e,e]\left[ \frac{1}{e}, e \right] 1,75 pts
b
Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=ex = e.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} las funciones definidas por f(x)=sen⁡(x)f(x) = \operatorname{sen}(x) y g(x)=cos⁡(x)g(x) = \cos(x) respectivamente.
a
Realiza un esbozo de las gráficas de ff y gg en el intervalo [0,π2]\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] 0,75 pts
b
Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas x=0x = 0 y x=π2x = \frac{\pi}{2}.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matricesA=(120012121)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}B=(0110)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}yC=(−120112)C = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}Determina, si existe, la matriz XX que verifica AXB=CtAXB = C^t, siendo CtC^t la matriz traspuesta de CC.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
El punto M(1,−1,0)M(1, -1, 0) es el centro de un paralelogramo y A(2,1,−1)A(2, 1, -1) y B(0,−2,3)B(0, -2, 3) son dos vértices consecutivos del mismo.
a
Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.1 pt
b
Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=2x2(x+1)(x−2)f(x) = \frac{2x^2}{(x + 1)(x - 2)} para x≠−1x \neq -1 y x≠2x \neq 2.
a
Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de ff.1 pt
b
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1 pt
c
Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de ff donde ésta corta a la asíntota horizontal.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=x2cos⁡(x)f(x) = x^2 \cos(x). Determina la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (π,0)(\pi, 0).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dado el sistema de ecuaciones{kx+2y=3−x+2kz=−13x−y−7z=k+1\begin{cases} kx + 2y = 3 \\ -x + 2kz = -1 \\ 3x - y - 7z = k + 1 \end{cases}
a
Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro kk.1,75 pts
b
Resuélvelo para k=1k = 1.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcula de manera razonada la distancia del eje OXOX a la recta rr de ecuaciones{2x−3y=42x−3y−z=0\begin{cases} 2x - 3y = 4 \\ 2x - 3y - z = 0 \end{cases}
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