Matemáticas II · Andalucía 2012

Sea la función $f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x)$ donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{2x^2}{(x + 1)(x - 2)}$ para $x \neq -1$ y $x \neq 2$.

Sean $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ las funciones definidas por $f(x) = \operatorname{sen}(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ respectivamente.

Sea la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2 \cos(x)$. Determina la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(\pi, 0)$.

Considera las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ y $$C = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Determina, si existe, la matriz $X$ que verifica $AXB = C^t$, siendo $C^t$ la matriz traspuesta de $C$.

Dado el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} kx + 2y = 3 \\ -x + 2kz = -1 \\ 3x - y - 7z = k + 1 \end{cases}$$

El punto $M(1, -1, 0)$ es el centro de un paralelogramo y $A(2, 1, -1)$ y $B(0, -2, 3)$ son dos vértices consecutivos del mismo.

Calcula de manera razonada la distancia del eje $OX$ a la recta $r$ de ecuaciones $$\begin{cases} 2x - 3y = 4 \\ 2x - 3y - z = 0 \end{cases}$$