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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2019

4 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. 2. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el sistema (t11t−11t0t)⋅(xyz)=(000)\begin{pmatrix} t & 1 & 1 \\ t & -1 & 1 \\ t & 0 & t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} dependiente del parámetro tt.
1
Clasifique, en función del valor de tt, el tipo de sistema.1,5 pts
2
Calcule todas las soluciones del sistema en el caso t=1t = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Considere la función f(x)=(x+10)e2xf(x) = (x + 10)e^{2x}.
1
Calcule un primitiva F(x)F(x) tal que F(0)=0F(0) = 0. Use la derivada para comprobar su solución.2,5 pts
2
Calcule ∫05f(x)dx\int_{0}^{5} f(x) dx.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Tomemos el plano Π≡2x+ay+z=2\Pi \equiv 2x + ay + z = 2 y la recta r(t)≡(0,0,0)+t(2,1,1)⃗r(t) \equiv (0, 0, 0) + t \vec{(2, 1, 1)}.
1
Determine aa para que rr y Π\Pi sean ortogonales.0,5 pts
2
Determine aa para que rr y Π\Pi sean paralelos. Calcule la distancia entre rr y Π\Pi en este caso.2 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Una prueba rápida para detectar una enfermedad da un 2%2\% de falsos positivos (personas sanas en las que la prueba da positivo, clasificándolas como enfermas) y un 1%1\% de falsos negativos (personas enfermas en las que la prueba da negativo, clasificándolas como sanas). En una población hay un 4%4\% de enfermos.
1
Calcule la probabilidad de que el test dé un resultado negativo.1 pt
2
La prueba da un resultado positivo (clasificando a la persona como enferma). Calcule la probabilidad de que realmente esté sana.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean M=(−110−321−102)M = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} y v=(xyz)v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.
1
Calcule, razonadamente, el rango de MM.0,5 pts
2
Determine todos los vectores vv tales que M2⋅v=M−1⋅vM^2 \cdot v = M^{-1} \cdot v.2 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Sea la función f(x)={sen⁡(x)2xsi x<0a−x22+xsi x≥0f(x) = \begin{cases} \frac{\sen(x)}{2x} & \text{si } x < 0 \\ \frac{a - x^2}{2 + x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}.
1
Determine, si existe, el valor de aa que haga a la función continua en x=0x = 0.1 pt
2
Calcule el valor de aa para que ff tenga un extremo relativo en x=2x = 2. ¿Es este extremo un máximo o mínimo local?1,5 pts
3
Sea g(x)g(x) una función integrable, si ∫03g(x)dx=4\int_{0}^{3} g(x) dx = 4 y ∫23g(x)dx=6\int_{2}^{3} g(x) dx = 6, ¿cuánto vale ∫02g(x)dx\int_{0}^{2} g(x) dx?0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean las rectas r1≡{y=22x+z=13r_1 \equiv \begin{cases} y = 2 \\ 2x + z = 13 \end{cases}, r2≡{x+2y=4x−z=3r_2 \equiv \begin{cases} x + 2y = 4 \\ x - z = 3 \end{cases} y el punto A=(0,0,3)A = (0, 0, 3).
1
Calcule la ecuación general (implícita) del plano que pasa por AA y es paralelo a r1r_1 y a r2r_2.2,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
El peso de una población sigue una distribución normal de media 70 kg70\,\text{kg} y desviación típica de 10 kg10\,\text{kg}.
1
Calcule el porcentaje de población que pesa entre 6565 y 75 kg75\,\text{kg}.1 pt
2
Calcule el porcentaje de población que pesa al menos 85 kg85\,\text{kg}.1 pt
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